В статистике термин дисперсия относится к тому, насколько разбросаны значения в данном наборе данных.
У студентов часто возникает вопрос о дисперсии:
Может ли дисперсия быть отрицательной?
Ответ: Нет, дисперсия не может быть отрицательной. Наименьшее значение, которое он может принимать, равно нулю.
Чтобы выяснить, почему это так, нам нужно понять, как на самом деле рассчитывается дисперсия.
Как рассчитать дисперсию
Формула для нахождения дисперсии выборки (обозначается как s 2 ):
s 2 = Σ (x i – x ) 2 / (n-1)
куда:
- x : Среднее значение выборки
- x i : i -е наблюдение в выборке
- N : Размер выборки
- Σ : греческий символ, означающий «сумма».
Например, предположим, что у нас есть следующий набор данных с 10 значениями:
Мы можем использовать следующие шаги для расчета дисперсии этой выборки:
Шаг 1: Найдите среднее
Среднее значение просто среднее. Получается 14,7 .
Шаг 2: Найдите квадратичные отклонения
Далее мы можем рассчитать квадрат отклонения каждого отдельного значения от среднего.
Например, первый квадрат отклонения рассчитывается как (6-14,7) 2 = 75,69.
Шаг 3: Найдите сумму квадратов отклонений
Далее мы можем взять сумму всех квадратов отклонений:
Шаг 4: Рассчитайте выборочную дисперсию
Наконец, мы можем рассчитать выборочную дисперсию как сумму квадратов отклонений, деленную на (n-1):
с 2 = 330,1 / (10-1) = 330,1 / 9 = 36,678
Выборочная дисперсия оказывается равной 36,678 .
Пример нулевой дисперсии
Набор данных может иметь нулевую дисперсию только в том случае, если все значения в наборе данных одинаковы .
Например, следующий набор данных имеет нулевую выборочную дисперсию:
Среднее значение набора данных равно 15, и ни одно из отдельных значений не отклоняется от среднего. Таким образом, сумма квадратов отклонений будет равна нулю, а выборочная дисперсия будет просто равна нулю.
Может ли стандартное отклонение быть отрицательным?
Более распространенным способом измерения разброса значений в наборе данных является использование стандартного отклонения, которое представляет собой просто квадратный корень из дисперсии.
Например, если дисперсия данной выборки равна s 2 = 36,678 , то стандартное отклонение (обозначаемое как s ) рассчитывается как:
с = √ с 2 = √ 36,678 = 6,056
Поскольку мы уже знаем, что дисперсия всегда равна нулю или положительному числу, это означает, что стандартное отклонение никогда не может быть отрицательным, поскольку квадратный корень из нуля или положительного числа не может быть отрицательным.
Дополнительные ресурсы
Показатели центральной тенденции: определение и примеры
Меры рассеивания: определение и примеры