Теорема Чебышева утверждает, что для любого числа k, большего 1, по крайней мере 1 – 1/k 2 значений данных в любом сформированном распределении лежат в пределах k стандартных отклонений от среднего.
Например, для любого сформированного распределения по крайней мере 1 – 1/3 2 = 88,89% значений в распределении будут лежать в пределах 3 стандартных отклонений от среднего.
В этом руководстве показано несколько примеров применения теоремы Чебышева в Excel.
Пример 1. Используйте теорему Чебышева, чтобы найти, какой процент значений попадет между 30 и 70 для набора данных со средним значением 50 и стандартным отклонением 10.
Сначала определите значение k. Мы можем сделать это, выяснив, сколько стандартных отклонений от 30 до 70 от среднего:
(30 — среднее) / стандартное отклонение = (30 — 50) / 10 = -20 / 10 = -2
(70 — среднее) / стандартное отклонение = (70 — 50) / 10 = 20 / 10 = 2
Значения 30 и 70 представляют собой 2 стандартных отклонения ниже и выше среднего значения соответственно. Таким образом, k = 2 .
Затем мы можем использовать следующую формулу в Excel, чтобы найти минимальный процент значений, которые находятся в пределах 2 стандартных отклонений от среднего значения для этого набора данных:
Процент значений, попадающих в диапазон от 30 до 70, для этого набора данных будет составлять не менее 75 % .
Пример 2. Используйте теорему Чебышева, чтобы найти, какой процент значений попадет между 20 и 50 для набора данных со средним значением 35 и стандартным отклонением 5.
Сначала определите значение k. Мы можем сделать это, выяснив, сколько стандартных отклонений на 20 и 50 от среднего:
(20 — среднее) / стандартное отклонение = (20 — 35) / 5 = -15 / 5 = -3
(50 — среднее) / стандартное отклонение = (50 — 35) / 5 = 15 / 5 = 3
Значения 20 и 50 представляют собой 3 стандартных отклонения ниже и выше среднего значения соответственно. Таким образом, k = 3 .
Затем мы можем использовать следующую формулу в Excel, чтобы найти минимальный процент значений, которые находятся в пределах 3 стандартных отклонений от среднего значения для этого набора данных:
Процент значений, попадающих в диапазон от 20 до 50, для этого набора данных будет составлять не менее 88,89 % .
Пример 3. Используйте теорему Чебышева, чтобы найти, какой процент значений попадет между 80 и 120 для набора данных со средним значением 100 и стандартным отклонением 5.
Сначала определите значение k. Мы можем сделать это, выяснив, сколько стандартных отклонений на 80 и 120 от среднего:
(80 — среднее) / стандартное отклонение = (80 — 100) / 5 = -20 / 5 = -4
(120 — среднее) / стандартное отклонение = (120 — 100) / 5 = 20 / 5 = 4
Значения 80 и 120 представляют собой 4 стандартных отклонения ниже и выше среднего значения соответственно. Таким образом, k = 4 .
Затем мы можем использовать следующую формулу в Excel, чтобы найти минимальный процент значений, которые находятся в пределах 4 стандартных отклонений от среднего значения для этого набора данных:
Процент значений, попадающих в диапазон от 80 до 120, для этого набора данных будет составлять не менее 93,75 % .