Доверительный интервал для стандартного отклонения — это диапазон значений, который может содержать стандартное отклонение генеральной совокупности с определенным уровнем достоверности.
В этом руководстве объясняется следующее:
- Мотивация для создания этого доверительного интервала.
- Формула для создания этого доверительного интервала.
- Пример того, как рассчитать этот доверительный интервал.
- Как интерпретировать этот доверительный интервал.
Доверительный интервал для стандартного отклонения: мотивация
Причина создания доверительного интервала для стандартного отклонения заключается в том, что мы хотим зафиксировать нашу неопределенность при оценке стандартного отклонения генеральной совокупности.
Например, предположим, что мы хотим оценить стандартное отклонение веса определенного вида черепах во Флориде. Поскольку во Флориде тысячи черепах, было бы очень много времени и денег, чтобы обойти и взвесить каждую отдельную черепаху.
Вместо этого мы могли бы взять простую случайную выборку из 50 черепах и использовать стандартное отклонение веса черепах в этой выборке для оценки стандартного отклонения истинной популяции:
Проблема в том, что стандартное отклонение в выборке не обязательно точно соответствует стандартному отклонению во всей совокупности. Итак, чтобы зафиксировать эту неопределенность, мы можем создать доверительный интервал, содержащий диапазон значений, которые, вероятно, содержат истинное стандартное отклонение в совокупности.
Доверительный интервал для стандартного отклонения: формула
Мы используем следующую формулу для расчета доверительного интервала для среднего значения:
Доверительный интервал = [√(n-1)s 2 /X 2 α/2 , √(n-1)s 2 /X 2 1-α/2 ]
куда:
- n: размер выборки
- s: стандартное отклонение выборки
- X 2 : Критическое значение хи-квадрат с n-1 степенями свободы.
Доверительный интервал для стандартного отклонения: пример
Предположим, мы собираем случайную выборку черепах со следующей информацией:
- Размер выборки n = 27
- Стандартное отклонение выборки s = 6,43.
Вот как найти различные доверительные интервалы для истинного стандартного отклонения населения:
90% доверительный интервал: [ √ (27-1) * 6,43 2 / 38,885, √ (27-1) * 6,43 2 / 15,379) = [5,258, 8,361]
95% доверительный интервал: [ √ (27-1) * 6,43 2 / 41,923, √ (27-1) * 6,43 2 / 13,844) = [5,064, 8,812]
99% доверительный интервал: [ √ (27-1) * 6,43 2 / 48,289, √ (27-1) * 6,43 2 / 11,160) = [4,718, 9,814]
Примечание. Вы также можете найти эти доверительные интервалы с помощью доверительного интервала для калькулятора стандартного отклонения .
Доверительный интервал для стандартного отклонения: интерпретация
То, как мы интерпретируем доверительный интервал, выглядит следующим образом:
Существует вероятность 95%, что доверительный интервал [5,064, 8,812] содержит истинное стандартное отклонение генеральной совокупности.
Другой способ сказать то же самое состоит в том, что существует только 5%-ная вероятность того, что истинное стандартное отклонение популяции находится за пределами 95%-го доверительного интервала. То есть существует только 5%-ная вероятность того, что истинное стандартное отклонение популяции больше 8,812 или меньше 5,064.