Часто в статистике нас интересует измерение параметров совокупности — чисел, описывающих некоторые характеристики всей совокупности .
Например, нас может заинтересовать измерение среднего роста мужчин в определенной стране.
Поскольку сбор данных о росте каждого мужчины в стране требует слишком больших затрат и времени, вместо этого мы будем собирать данные по простой случайной выборке мужчин. Затем мы использовали бы средний рост мужчин в этой выборке для оценки среднего роста всех мужчин в стране.
К сожалению, средний рост мужчин в выборке не обязательно точно соответствует среднему росту мужчин во всей популяции. Например, мы можем случайно выбрать выборку, полную более низких мужчин, или, возможно, выборку, полную более высоких мужчин.
Чтобы зафиксировать нашу неопределенность вокруг нашей оценки истинного среднего значения генеральной совокупности, мы можем создать доверительный интервал.
Доверительный интервал: диапазон значений, который может содержать параметр генеральной совокупности с определенным уровнем достоверности.
Доверительный интервал рассчитывается по следующей общей формуле:
Доверительный интервал = (точечная оценка) +/- (критическое значение) * (стандартная ошибка)
Например, формула для расчета доверительного интервала для среднего значения генеральной совокупности выглядит следующим образом:
Доверительный интервал = x +/- z*(s/ √n )
куда:
- x : выборочное среднее
- z: критическое значение z
- s: стандартное отклонение выборки
- n: размер выборки
Критическое значение z, которое вы будете использовать в формуле, зависит от выбранного вами уровня достоверности .
Уровень уверенности: процент всех возможных выборок, которые, как ожидается, будут включать истинный параметр генеральной совокупности.
Наиболее распространенные уровни достоверности включают 90%, 95% и 99%.
В следующей таблице показано критическое значение z, которое соответствует этим популярным вариантам выбора уровня достоверности:
| Уровень достоверности | z критическое значение | | --- | --- | | 0,90 | 1,645 | | 0,95 | 1,96 | | 0,99 | 2,58 |
Например, предположим, что мы измерили рост 25 мужчин и нашли следующее:
- Размер выборки n = 25
- Средняя высота образца x = 70 дюймов
- Стандартное отклонение выборки s = 1,2 дюйма
Вот как найти вычислить доверительный интервал для истинного среднего роста населения, используя уровень достоверности 90% :
90% доверительный интервал: 70 +/- 1,645*(1,2/√25) = [69,6052, 70,3948]
Это означает, что если бы мы использовали один и тот же метод выборки для выбора разных выборок и рассчитали доверительный интервал для каждой выборки, мы ожидали бы, что истинный средний рост населения попадет в интервал в 90% случаев.
Теперь предположим, что вместо этого мы вычисляем доверительный интервал, используя уровень достоверности 95%:
95% доверительный интервал: 70 +/- 1,96*(1,2/√25) = [69,5296, 70,4704]
Обратите внимание, что этот доверительный интервал шире, чем предыдущий. Это связано с тем, что чем выше уровень достоверности, тем шире доверительный интервал.
Чем выше уровень достоверности, тем шире доверительный интервал.
Это должно иметь смысл интуитивно: более широкий уровень достоверности имеет более высокую вероятность содержать истинный параметр генеральной совокупности.
Резюме
В итоге:
Доверительный интервал — это диапазон значений, который может содержать параметр генеральной совокупности с определенным уровнем достоверности. Он использует следующую основную формулу:
Доверительный интервал = (точечная оценка) +/- (критическое значение) * (стандартная ошибка)
Уровень достоверности определяет критическое значение для использования в этой формуле. Чем выше уровень достоверности, тем больше критическое значение и, следовательно, тем шире доверительный интервал.
Дополнительные ресурсы
Введение в доверительные интервалы
Введение в проверку гипотез
Что такое точечная оценка?