Распространение ошибки происходит, когда вы измеряете некоторые величины a , b , c , … с неопределенностями δ a , δ b , δc …, а затем хотите вычислить какую-то другую величину Q , используя измерения a , b , c и т. д.
Получается, что неопределенности δa , δb , δc будут распространяться (т.е. «растягиваться») на неопределенность Q.
Для вычисления неопределенности Q , обозначаемой δ Q , мы можем использовать следующие формулы.
Примечание. Для каждой из приведенных ниже формул предполагается, что величины a , b , c и т. д. имеют случайные и некоррелированные ошибки.
Сложение или вычитание
Если Q = a + b + … + c – (x + y + … + z)
Тогда δ Q = √ (δa) 2 + (δb) 2 + … + (δc) 2 + (δx) 2 + (δy) 2 + … + (δz) 2
Пример. Предположим, вы измеряете длину человека от земли до талии как 40 дюймов ± 0,18 дюйма. Затем вы измеряете длину человека от талии до макушки как 30 дюймов ± 0,06 дюйма.
Предположим, вы затем используете эти два измерения для расчета общего роста человека. Высота будет рассчитана как 40 дюймов + 30 дюймов = 70 дюймов. Неопределенность в этой оценке будет рассчитываться как:
- δ Q = √ (δa) 2 + (δb) 2 + … + (δc) 2 + (δx) 2 + (δy) 2 + … + (δz) 2
- δ Q = √ (.18) 2 + (.06) 2
- δ Q = 0,1897
Это дает нам окончательное измерение 70 ± 0,1897 дюйма.
Умножение или деление
Если Q = (ab…c) / (xy…z)
Тогда δ Q = |Q| * √ (δa/a) 2 + (δb/b) 2 + … + (δc/c) 2 + (δx/x) 2 + (δy/y) 2 + … + (δz/z) 2
Пример: Предположим, вы хотите измерить отношение длины элемента a к элементу b.Вы измеряете длину a как 20 дюймов ± 0,34 дюйма, а длину b как 15 дюймов ± 0,21 дюйма.
Отношение, определенное как Q = a/b , будет рассчитано как 20/15 = 1,333.Неопределенность в этой оценке будет рассчитываться как:
- δQ = | Q | * √ (δa/a) 2 + (δb/b) 2 + … + (δc/c) 2 + (δx/x) 2 + (δy/y) 2 + … + (δz/z) 2
- δ Q = |1,333| * √ (0,34/20) 2 + (0,21/15) 2
- δ Q = 0,0294
Это дает нам окончательное соотношение 1,333 ± 0,0294 дюйма.
Измеренное количество, умноженное на точное число
Если A точно известно и Q = A x
Тогда δ Q = |A|δx
Пример: предположим, что вы измеряете диаметр круга как 5 метров ± 0,3 метра. Затем вы используете это значение для вычисления длины окружности c = πd .
Длина окружности будет рассчитана как c = πd = π*5 = 15,708.Неопределенность в этой оценке будет рассчитываться как:
- δ Q = |A|δx
- δ = | π | * 0,3
- δ Q = 0,942
Таким образом, длина окружности равна 15,708 ± 0,942 метра.
Неуверенность в силе
Если n — точное число и Q = x n
Тогда δ Q = | Вопрос | * | н | * (δ х/х )
Пример: предположим, что вы измеряете сторону куба как s = 2 дюйма ± 0,02 дюйма. Затем вы используете это значение для вычисления объема куба v = s 3 .
Объем будет рассчитан как v = s 3 = 2 3 = 8 дюймов 3.Неопределенность в этой оценке будет рассчитываться как:
- δ = | Вопрос | * | н | * (δ х/х )
- δ Q = |8| * |3| * (.02/2)
- δ Q = 0,24
Таким образом, объем куба равен 8 ± 0,24 дюйма 3 .
Общая формула распространения ошибок
Если Q = Q(x) является любой функцией от x , то общая формула распространения ошибок может быть определена как:
δ Q = |dQ / dX |δx
Обратите внимание, что вам редко придется выводить эти формулы с нуля, но может быть полезно знать общую формулу, используемую для их вывода.