Большинство формул, используемых для вычисления стандартных ошибок , основаны на идее, что (1) выборки выбираются с заменой или что (2)выборки выбираются из бесконечного множества.
В реальных исследованиях ни одна из этих идей не соответствует действительности. К счастью, это не проблема, если размер выборки составляет менее 5% от общей численности населения.
Однако, когда размер выборки превышает 5% от общей численности населения, лучше всего применять поправку на конечную совокупность (часто сокращенно FPC ), которая рассчитывается как:
FPC = √ (Nn) / (N-1)
куда:
- N: Численность населения
- n: размер выборки
Как использовать поправочный коэффициент конечной совокупности
Чтобы применить поправку на конечную совокупность, просто умножьте ее на стандартную ошибку, которую вы бы использовали изначально.
Например, стандартная ошибка среднего значения рассчитывается как:
Стандартная ошибка среднего: s / √ n
Применяя поправку на конечную популяцию, формула принимает вид:
Стандартная ошибка среднего: с / √ n * √ (Nn) / (N-1)
Следующие примеры иллюстрируют, как использовать поправку на конечную совокупность в различных сценариях.
Пример 1: Доверительный интервал для пропорции
Исследователи хотят оценить долю жителей округа с населением 1300 человек, поддерживающих определенный закон. Они выбирают случайную выборку из 100 жителей и спрашивают их об их отношении к закону. Вот результаты:
- Размер выборки n = 100
- Доля в пользу закона p = 0,56
Обычно формула для расчета 95% доверительного интервала для доли населения выглядит следующим образом:
95% ДИ = p +/- z * (√ p (1-p) / n )
Однако размер нашей выборки в этом примере составляет 100/1300 = 7,7% населения, что превышает 5%. Таким образом, нам нужно применить поправку на конечную совокупность к нашей формуле для доверительного интервала:
95% ДИ = p +/- z*(√ p(1-p)/n ) * √ (Nn) / (N-1)
Таким образом, наш 95% доверительный интервал можно рассчитать как:
95% ДИ = 0,56 +/- 1,96 * (√ 0,56 (1-0,56) / 100 ) * √ (1300-100) / (1300-1) = [0,4665, 0,6535]
Пример 2: Доверительный интервал для среднего
Исследователи хотят оценить средний вес определенного вида из 500 черепах, поэтому они выбирают случайную выборку из 40 черепах и взвешивают каждую из них. Вот результаты:
- Размер выборки n = 40
- Средний вес выборки x = 300
- Стандартное отклонение выборки s = 18,5
Обычно формула для расчета 95% доверительного интервала для среднего значения генеральной совокупности выглядит следующим образом:
95% ДИ = x +/- t α/2 *(s/√n)
Однако размер нашей выборки в этом примере составляет 40/500 = 8% населения, что превышает 5%. Таким образом, нам нужно применить поправку на конечную совокупность к нашей формуле для доверительного интервала:
95% ДИ = x +/- t α/2 *(s/√n) * √ (Nn) / (N-1)
Таким образом, наш 95% доверительный интервал можно рассчитать как:
95% ДИ = 300 +/- 2,0227 * (18,5/√ 40 ) * √ (500-40) / (500-1) = [294,32, 305,69]
Дополнительные ресурсы
Что такое доверительные интервалы?
Погрешность и стандартная ошибка: в чем разница?
Стандартное отклонение и стандартная ошибка: в чем разница?