Общее правило умножения гласит, что вероятность того, что произойдут любые два события, А и В, можно рассчитать как:
Р(А и В) = Р(А) * Р(В|А)
Вертикальная полоса | означает «дано». Таким образом, P(B|A) можно прочитать как «вероятность того, что B произойдет, при условии , что A произошло».
Если события A и B независимы, то P(B|A) просто равно P(B), и правило можно упростить до:
Р(А и В) = Р(А) * Р(В)
Давайте рассмотрим несколько примеров как независимых, так и зависимых событий, чтобы увидеть, как мы можем применить это общее правило умножения на практике.
Общее правило умножения для зависимых событий
В следующих примерах показано, как использовать общее правило умножения для нахождения вероятностей, связанных с двумя зависимыми событиями. В каждом примере вероятность возникновения второго события зависит от исхода первого события.
Пример 1: Шары в урне
В урне 4 красных и 3 зеленых шара. Боб собирается случайным образом выбрать 2 шара из урны без замены. Какова вероятность того, что он выберет 2 красных шара?
Решение: Вероятность того, что он выберет красный шар с первой попытки, равна 4/7. После того, как этот шар удален, вероятность того, что он выберет красный шар во второй попытке, составляет 3/6. Таким образом, вероятность того, что он выберет 2 красных шара, можно рассчитать как:
P (оба красные) = 4/7 * 3/7 ≈ 0,2249
Пример 2: Карты в колоде
В колоде карт 26 черных и 26 красных карт. Дебби собирается случайным образом выбрать 2 карты из колоды без замены. Какова вероятность того, что она выберет 2 красные карточки?
Решение: Вероятность того, что она выберет красную карточку с первой попытки, равна 26/52. После того, как эта карта будет удалена, вероятность того, что она выберет красную карту во второй попытке, составляет 25/51. Таким образом, вероятность того, что она выберет 2 красные карточки, можно рассчитать как:
P (оба красные) = 26/52 * 25/51 ≈ 0,2451
Общее правило умножения для независимых событий
В следующих примерах показано, как использовать общее правило умножения для нахождения вероятностей, связанных с двумя независимыми событиями. В каждом примере вероятность появления второго события не зависит от исхода первого события.
Пример 1: подбрасывание двух монет
Предположим, мы подбрасываем две монеты. Какова вероятность того, что обе монеты выпадут орлом?
Решение: Вероятность того, что первая монета выпадет орлом, равна 1/2. Независимо от того, какой стороной выпадет первая монета, вероятность того, что вторая монета выпадет орлом, также равна 1/2. Таким образом, вероятность того, что обе монеты выпадут орлом, можно рассчитать как:
P(оба приземляются головой) = 1/2 * 1/2 = 0,25
Пример 2: Бросание двух игральных костей
Предположим, мы бросаем сразу два кубика. Какова вероятность того, что на обеих костях выпадет число 1?
Решение: Вероятность того, что первый кубик выпадет на 1, равна 1/6. Независимо от того, на какой стороне выпадет первый кубик, вероятность того, что второй кубик выпадет на «1», также равна 1/6. Таким образом, вероятность того, что оба кубика выпадут на «1», можно рассчитать как:
P (оба приземляются на «1») = 1/6 * 1/6 = 1/36 ≈ 0,0278