Нормальное распределение является наиболее часто используемым в статистике распределением вероятностей.
Он имеет следующие свойства:
- Симметричный
- колоколообразный
- Среднее и медиана равны; оба расположены в центре распределения
Среднее значение нормального распределения определяет его местоположение, а стандартное отклонение определяет его разброс.
Например, на следующем графике показаны три нормальных распределения с разными средними значениями и стандартными отклонениями:
Стандартное нормальное распределение — это особый тип нормального распределения, где среднее значение равно 0, а стандартное отклонение равно 1.
На следующем графике показано стандартное нормальное распределение:
Как преобразовать нормальное распределение в стандартное нормальное распределение
Любое нормальное распределение можно преобразовать в стандартное нормальное распределение путем преобразования значений данных в z-показатели по следующей формуле:
z = (x – μ) / σ
куда:
- x: индивидуальное значение данных
- μ: среднее значение распределения
- σ: стандартное отклонение распределения
Например, предположим, что у нас есть следующий набор данных со средним значением 6 и стандартным отклонением 2,152:
Мы можем преобразовать каждое отдельное значение данных в z-оценку, вычтя 6 из каждого значения и разделив на 2,152:
Z-показатель говорит нам, сколько стандартных отклонений каждая точка данных находится от среднего значения. Например, первое значение данных «3» лежит на 1,39 стандартных отклонения ниже среднего.
Среднее значение этого распределения z-показателей имеет среднее значение, равное нулю, и стандартное отклонение, равное единице.
Как использовать стандартное нормальное распределение
Стандартное нормальное распределение обладает следующими свойствами:
- Около 68% данных находятся в пределах одного стандартного отклонения от среднего
- Около 95% данных находятся в пределах двух стандартных отклонений от среднего
- Около 99,7% данных находятся в пределах трех стандартных отклонений от среднего значения.
Это известно как эмпирическое правило и используется для понимания распределения значений в наборе данных.
Например, предположим, что высота растений в определенном саду нормально распределена со средним значением 47,4 дюйма и стандартным отклонением 2,4 дюйма.
Согласно эмпирическому правилу, какой процент растений имеет высоту менее 54,6 дюймов?
Эмпирическое правило гласит, что для заданного набора данных с нормальным распределением 99,7% значений данных находятся в пределах трех стандартных отклонений от среднего. Это означает, что 49,85% значений находятся между средним значением и тремя стандартными отклонениями выше среднего.
В этом примере 54,6 находится на три стандартных отклонения выше среднего. Поскольку мы знаем, что 50 % значений данных находятся ниже среднего значения в нормальном распределении, в общей сложности 50 % + 49,85 % = 99,85 % значений попадают ниже 54,6.
Таким образом, 99,85% растений имеют высоту менее 54,6 дюймов.
Дополнительные ресурсы
Эмпирические проблемы практики правил
Калькулятор эмпирических правил
Как применить эмпирическое правило в Excel