Как найти вероятность A и B (с примерами)

Для двух событий, A и B, «найти вероятность A и B» означает найти вероятность того, что событие A и событие B оба произойдут .

Обычно мы записываем эту вероятность одним из двух способов:

P (A и B) - Письменная форма
P (A ∩ B) - форма обозначения

То, как мы вычисляем эту вероятность, зависит от того, являются ли события A и B независимыми или зависимыми.

Если A и B независимы , то формула, которую мы используем для вычисления P(A∩B), выглядит просто:

Independent Events: P(A∩B) = P(A) \* P(B)

Если A и B зависимы , то формула, которую мы используем для вычисления P(A∩B):

Dependent Events: P(A∩B) = P(A) \* P(B|A)

Обратите внимание, что P(B|A) — это условная вероятность наступления события B, учитываяпроисходит событие А.

Следующие примеры показывают, как использовать эти формулы на практике.

Примеры P(A∩B) для независимых событий

В следующих примерах показано, как вычислить P(A ∩ B), когда A и B являются независимыми событиями.

Пример 1: Вероятность того, что ваша любимая бейсбольная команда выиграет Мировую серию, равна 1/30, а вероятность того, что ваша любимая футбольная команда выиграет Суперкубок, равна 1/32. Какова вероятность того, что обе ваши любимые команды выиграют свои соответствующие чемпионаты?

Решение: В этом примере вероятность каждого события не зависит от другого. Таким образом, вероятность того, что они оба произойдут, рассчитывается как:

P(A∩B) = (1/30) * (1/32) = 1/960 = 0,00104.

Пример 2: Вы бросаете кости и одновременно подбрасываете монету. Какова вероятность того, что на кубике выпадет 4, а на монете выпадет решка?

P(A∩B) = (1/6) * (1/2) = 1/12 = 0,083333.

Примеры P(A∩B) для зависимых событий

В следующих примерах показано, как вычислить P(A∩B), когда A и B являются зависимыми событиями.

Пример 1: В урне 4 красных и 4 зеленых шара. Вы случайным образом выбираете один шар из урны. Затем без замены вы выбираете другой шар. Какова вероятность того, что каждый раз вы выбираете красный шар?

Решение: В этом примере цвет мяча, который мы выбираем в первый раз, влияет на вероятность выбора красного мяча во второй раз. Таким образом, эти два события являются зависимыми.

Определим событие А как вероятность выбора красного шара в первый раз. Эта вероятность равна P(A) = 4/8. Далее нам нужно найти вероятность снова выбрать красный шар, если первый шар был красным. В этом случае осталось выбрать только 3 красных шара и всего 7 шаров в урне. Таким образом, P(B|A) равно 3/7.

Таким образом, вероятность того, что мы каждый раз выбираем красный шар, будет рассчитываться как:

P(A∩B) = P(A) * P(B|A) = (4/8) * (3/7) = 0,214.

Пример 2: В одном классе 15 мальчиков и 12 девочек. Предположим, мы поместили имена каждого ученика в мешок. Мы случайным образом выбираем одно имя из мешка. Затем без замены выбираем другое имя. Какова вероятность того, что оба имени мальчики?

Решение: В этом примере имя, которое мы выбираем в первый раз, влияет на вероятность выбора имени мальчика во время второго розыгрыша. Таким образом, эти два события являются зависимыми.

Определим событие А как вероятность первого выбора мальчика. Эта вероятность равна P(A) = 15/27. Далее мы должны найти вероятность того, что снова выберем мальчика, учитывая , что первое имя было мальчиком. В этом случае осталось выбрать только 14 мальчиков и всего 26 имен в мешочке. Таким образом, P(B|A) равно 14/26.

Таким образом, вероятность того, что мы каждый раз выбираем имя мальчика, будет рассчитываться как:

P(A∩B) = P(A) * P(B|A) = (15/27) * (14/26) = 0,299.