Для двух событий, A и B, «найти вероятность A или B» означает найти вероятность того, что произойдет либо событие A, либо событие B.
Обычно мы записываем эту вероятность одним из двух способов:
- P (A или B) - Письменная форма
- P(A∪B) – Форма записи
То, как мы вычисляем эту вероятность, зависит от того, являются ли события A и B взаимоисключающими или нет. Два события являются взаимоисключающими, если они не могут произойти одновременно.
Если A и B взаимоисключающие , то формула, которую мы используем для вычисления P(A∪B):
Mutually Exclusive Events: P(A∪B) = P(A) + P(B)
Если A и B не исключают друг друга , то формула, которую мы используем для вычисления P(A∪B):
Not Mutually Exclusive Events: P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)
Обратите внимание, что P(A ∩ B) — это вероятность того, что событие A и событие B произойдут одновременно.
Следующие примеры показывают, как использовать эти формулы на практике.
Примеры: P(A∪B) для взаимоисключающих событий.
Пример 1: Какова вероятность того, что при бросании игральной кости выпадет либо 2, либо 5?
Решение: если мы определим событие A как получение 2, а событие B как получение 5, то эти два события являются взаимоисключающими, потому что мы не можем выбросить 2 и 5 одновременно. Таким образом, вероятность того, что выпадет либо 2, либо 5, рассчитывается как:
Р(А∪В) = (1/6) + (1/6) = 2/6 = 1/3.
Пример 2: Предположим, что в урне 3 красных шара, 2 зеленых шара и 5 желтых шаров. Если мы случайно выберем один шар, какова вероятность того, что вы выберете либо красный, либо зеленый шар?
Решение: если мы определим событие А как выбор красного шара, а событие В как выбор зеленого шара, то эти два события будут взаимоисключающими, потому что мы не можем выбрать одновременно красный и зеленый шар. Таким образом, вероятность того, что мы выберем красный или зеленый шар, рассчитывается как:
P(A∪B) = (3/10) + (2/10) = 5/10 = 1/2.
Примеры: P(A ∪ B) для не взаимоисключающих событий .
В следующих примерах показано, как вычислить P(A∪B), когда A и B не являются взаимоисключающими событиями.
Пример 1. Если мы случайно выберем карту из стандартной колоды из 52 карт, какова вероятность того, что вы выберете пику или даму?
Решение: В этом примере можно выбрать карту, которая является и пикой, и дамой, поэтому эти два события не исключают друг друга.
Если мы допустим, что событие A будет событием выбора пики, а событие B будет событием выбора ферзя, то мы получим следующие вероятности:
- Р(А) = 13/52
- Р(В) = 4/52
- Р(А∩В) = 1/52
Таким образом, вероятность выбора пики или королевы рассчитывается как:
P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) = (13/52) + (4/52) – (1/52) = 16/52 = 4/13.
Пример 2. Если мы бросим игральную кость, какова вероятность того, что выпадет число больше 3 или четное число?
Решение. В этом примере кости могут выпасть на число, которое одновременно больше 3 и четно, поэтому эти два события не исключают друг друга.
Если мы допустим, что событие А будет событием выпадения числа больше 3, а событие В будет событием выпадения четного числа, то мы получим следующие вероятности:
- Р(А) = 3/6
- Р(В) = 3/6
- Р(А∩В) = 2/6
Таким образом, вероятность того, что кубик выпадет на число больше 3 или на четное число, рассчитывается как:
P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) = (3/6) + (3/6) – (2/6) = 4/6 = 2/3.