Как найти вероятность «по крайней мере одного» успеха
Вероятность говорит нам о вероятности того, что некоторое событие произойдет.
Например, предположим, что 4% всех учащихся определенной школы предпочитают математику в качестве своего любимого предмета. Если мы случайным образом выберем одного ученика, вероятность того, что он предпочтет математику, составит 4%.
Но часто нас интересуют вероятности, связанные с несколькими испытаниями. Например, если мы случайным образом выберем трех учеников, какова вероятность того, что хотя бы один из них предпочитает математику?
Мы можем использовать следующие шаги, чтобы ответить на это:
1. Найдите вероятность того, что учащийся не предпочитает математику.
Мы знаем, что вероятность того, что учащийся предпочитает математику, равна P(предпочитает математику) = 0,04.
Таким образом, вероятность того, что учащийся не предпочитает математику, равна P(не предпочитает математику) = 0,96.
2. Найдите вероятность того, что все выбранные учащиеся не предпочитают математику.
Поскольку вероятность того, что каждый ученик предпочитает математику, не зависит друг от друга, мы можем просто перемножить отдельные вероятности вместе:
P (все учащиеся не предпочитают математику) = 0,96 * 0,96 * 0,96 = 0,8847.
Это представляет вероятность того, что все три ученика не предпочитают математику в качестве своего любимого предмета.
3. Найдите вероятность того, что хотя бы один ученик предпочитает математику.
Наконец, вероятность того, что хотя бы один учащийся предпочитает математику, рассчитывается как:
P(по крайней мере один предпочитает математику) = 1 – P(все не предпочитают математику) = 1 – 0,8847 = 0,1153 .
Оказывается, мы можем использовать следующую общую формулу, чтобы найти вероятность хотя бы одного успеха в серии испытаний:
P(at least one success) = 1 - P(failure in one trial) n
В приведенной выше формуле n представляет общее количество испытаний.
Например, мы могли бы использовать эту формулу, чтобы найти вероятность того, что хотя бы один ученик из случайной выборки из трех человек предпочел математику в качестве своего любимого предмета:
P(по крайней мере, один учащийся предпочитает математику) = 1 – (0,96) 3 = 0,1153 .
Это соответствует ответу, который мы получили, используя описанный выше трехэтапный процесс.
Используйте следующие примеры в качестве дополнительной практики для нахождения вероятности «хотя бы одного» успеха.
Связанный: Как найти вероятность «по крайней мере двух» успехов
Пример 1: Попытки свободного броска
Майк совершает 20% штрафных бросков. Если он сделает 5 штрафных бросков, найдите вероятность того, что он совершит хотя бы один.
Решение:
- P(делает хотя бы одну) = 1 – P(пропускает данную попытку) n
- P(делает хотя бы один) = 1 – (0,80) 5
- P(делает хотя бы один) = 0,672
Вероятность того, что Майк совершит хотя бы один штрафной бросок из пяти попыток, равна 0,672 .
Пример 2: виджеты
На данной фабрике браковано 2% всех изделий. Найдите вероятность того, что среди случайной выборки из 10 изделий хотя бы одно окажется бракованным.
Решение:
- P(хотя бы один бракованный) = 1 – P(данный виджет не бракованный) n
- P(хотя бы один бракованный) = 1 – (0,98) 10
- P(хотя бы один бракованный) = 0,183
Вероятность того, что хотя бы один виджет окажется бракованным в случайной выборке из 10, равна 0,183 .
Пример 3: простые вопросы
Боб правильно отвечает на 75% викторин. Если мы зададим ему 3 простых вопроса, найдем вероятность того, что он ответит хотя бы на один неправильно.
Решение:
- P(хотя бы один неверный) = 1 – P(данный ответ правильный) n
- P(хотя бы один неправильный) = 1 – (0,75) 3
- P(хотя бы один неправильный) = 0,578
Вероятность того, что он ответит хотя бы на один неверно, равна 0,578 .
Бонус: калькулятор вероятности «хотя бы одного»
Воспользуйтесь этим калькулятором , чтобы автоматически определить вероятность «по крайней мере одного» успеха на основе вероятности успеха в данном испытании и общего количества испытаний.