Операции над множествами: объединение, пересечение, дополнение и различие

Редакция Кодкампа -

Набор — это набор предметов.

Мы обозначаем набор с помощью заглавной буквы, а элементы в наборе определяем с помощью фигурных скобок. Например, предположим, что у нас есть некоторый набор под названием «A» с элементами 1, 2, 3. Мы запишем это так:

А = {1, 2, 3}

В этом руководстве объясняются наиболее распространенные операции с множествами, используемые в теории вероятностей и статистике.

Союз

Определение: Объединение множеств A и B — это множество элементов, которые находятся либо в A, либо в B.

Обозначение: А ∪ В

Примеры:

  • {1, 2, 3} ∪ {4, 5, 6} = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
  • {1, 2} ∪ {1, 2} = {1, 2}
  • {1, 2, 3} ∪ {3, 4} = {1, 2, 3, 4}

Перекресток

Определение: Пересечение множеств A и B — это множество элементов, которые находятся как в A, так и в B.

Обозначение: А ∩ В

Примеры:

  • {1, 2, 3} ∩ {4, 5, 6} = {∅}
  • {1, 2} ∩ {1, 2} = {1, 2}
  • {1, 2, 3} ∩ {3, 4} = {3}

Дополнение

Определение: Дополнением множества A называется множество элементов, которые входят в универсальное множество U, но не входят в A.

Обозначение: A' или A c

Примеры:

  • Если U = {1, 2, 3, 4, 5, 6} и A = {1, 2}, то A c = {3, 4, 5, 6}
  • Если U = {1, 2, 3} и A = {1, 2}, то A c = {3}

Разница

Определение: Разность множеств А и В — это множество элементов, которые есть в А, но отсутствуют в В.

Обозначение: А – Б

Примеры:

  • {1, 2, 3} – {2, 3, 4} = {1}
  • {1, 2} – {1, 2} = {∅}
  • {1, 2, 3} – {4, 5} = {1, 2, 3}

Симметричная разница

Определение: Симметричная разность множеств A и B — это множество элементов, которые находятся либо в A, либо в B, но не в обоих.

Обозначение: А Δ В

Примеры:

  • {1, 2, 3} ∆ {2, 3, 4} = {1, 4}
  • {1, 2} ∆ {1, 2} = {∅}
  • {1, 2, 3} Δ {4, 5} = {1, 2, 3, 4, 5}

Декартово произведение

Определение: Декартово произведение множеств A и B — это множество упорядоченных пар из A и B.

Обозначение: А х В

Примеры:

  • Если A = {H, T} и B = {1, 2, 3}, то A x B = {(H, 1), (H, 2), (H, 3), (T, 1), ( Т, 2), (Т, 3)}
  • Если A = {T, H} и B = {1, 2, 3}, то A x B = {(T, 1), (T, 2), (T, 3), (H, 1), ( Н, 2), (Н, 3)}