Стандартное отклонение используется для измерения разброса значений в выборке.
Мы можем использовать следующую формулу для расчета стандартного отклонения данной выборки:
√ Σ(x i – x бар ) 2 / (n-1)
куда:
- Σ: символ, означающий «сумма».
- x i : i -е значение в выборке
- x bar : среднее значение выборки
- n: размер выборки
Чем выше значение стандартного отклонения, тем более разбросаны значения в выборке.И наоборот, чем ниже значение стандартного отклонения, тем более плотно упакованы значения.
У студентов часто возникает вопрос: какое значение стандартного отклонения считается низким?
Ответ: порогового значения для того, что считается «низким» стандартным отклонением, не существует, поскольку оно зависит от типа данных, с которыми вы работаете.
Например, рассмотрим следующие сценарии:
Сценарий 1. Профессор собирает данные об экзаменационных баллах студентов своего класса и обнаруживает, что стандартное отклонение экзаменационных баллов составляет 7,8.
Сценарий 2. Экономист измеряет общий подоходный налог, собираемый в разных странах мира, и обнаруживает, что стандартное отклонение общего подоходного налога составляет 1,2 миллиона долларов.
Стандартное отклонение в сценарии 2 намного выше, но это только потому, что значения, измеренные в сценарии 2, значительно выше, чем значения, измеренные в сценарии 1.
Это означает, что нет единого числа, которое мы можем использовать, чтобы определить, является ли стандартное отклонение «низким» или нет. Все зависит от ситуации.
Использование коэффициента вариации
Один из способов определить, является ли стандартное отклонение «низким», — сравнить его со средним значением набора данных.
Коэффициент вариации , часто сокращенно CV , — это способ измерить, насколько разбросаны значения в наборе данных по отношению к среднему значению. Он рассчитывается как:
CV = с / х
куда:
- s: стандартное отклонение набора данных
- x : среднее значение набора данных
Чем ниже CV, тем меньше стандартное отклонение относительно среднего значения.
Например, предположим, что профессор собирает данные об экзаменационных баллах студентов и обнаруживает, что средний балл равен 80,3, а стандартное отклонение баллов равно 7,8. CV будет рассчитываться как:
- CV: 7,8 / 80,3 = 0,097
Предположим, другой профессор из другого университета собирает данные об экзаменационных баллах своих студентов и обнаруживает, что средний балл равен 70,3, а стандартное отклонение баллов равно 8,5. CV будет рассчитываться как:
- CV: 8,5 / 90,2 = 0,094
Хотя стандартное отклонение экзаменационных баллов ниже для студентов первого профессора, коэффициент вариации фактически выше, чем у экзаменационных баллов для студентов второго профессора.
Это означает, что вариация экзаменационных баллов по отношению к среднему баллу выше у студентов первого профессора.
Сравнение стандартных отклонений между образцами
Вместо того, чтобы классифицировать стандартное отклонение как «низкое» или нет, часто мы просто сравниваем стандартное отклонение между несколькими образцами, чтобы определить, какой образец имеет самое низкое стандартное отклонение.
Например, предположим, что профессор сдает своим студентам три экзамена в течение одного семестра. Затем он вычисляет выборочное стандартное отклонение баллов для каждого экзамена:
- Стандартное отклонение образца экзамена 1. Баллы: 4,9 .
- Стандартное отклонение образца экзамена 2. Баллы: 14,4 .
- Стандартное отклонение выборки экзамена 3. Баллы: 2,5 .
Профессор может видеть, что у Экзамена 3 было самое низкое стандартное отклонение оценок среди всех трех экзаменов, а это означает, что экзаменационные оценки были наиболее тесно связаны друг с другом для этого экзамена.
И наоборот, он может видеть, что Экзамен 2 имел самое высокое стандартное отклонение, что означает, что экзаменационные оценки были наиболее разбросаны для этого экзамена.
Дополнительные ресурсы
Стандартное отклонение и стандартная ошибка: в чем разница?
Стандартное отклонение и межквартильный диапазон: в чем разница?