Понимание биномиальных экспериментов — это первый шаг к пониманию биномиального распределения .
В этом руководстве дается определение биномиального эксперимента и приводится несколько примеров экспериментов, которые считаются и не считаются биномиальными экспериментами.
Биномиальный эксперимент: определение
Биномиальный эксперимент — это эксперимент, обладающий следующими четырьмя свойствами:
1. Эксперимент состоит из n повторных попыток. Число n может быть любым. Например, если мы подбросим монету 100 раз, то n = 100.
2. Каждое испытание имеет только два возможных исхода. Мы часто называем результаты либо «успехом», либо «неудачей», но «успех» — это просто ярлык для того, что мы рассчитываем. Например, когда мы подбрасываем монету, мы можем назвать решку «успехом», а решку «неудачей».
3. Вероятность успеха, обозначаемая p , одинакова для каждого испытания. Чтобы эксперимент был настоящим биномиальным экспериментом, вероятность «успеха» должна быть одинаковой для каждого испытания. Например, когда мы подбрасываем монету, вероятность выпадения орла («успех») всегда одинакова каждый раз, когда мы подбрасываем монету.
4. Каждое испытание является независимым.Это просто означает, что исход одного испытания не влияет на исход другого испытания. Например, предположим, что мы подбрасываем монету, и она падает решкой. Тот факт, что он выпал орлом, не меняет вероятности того, что он выпадет орлом при следующем подбрасывании. Каждый флип (т. е. каждое «испытание») независим.
Примеры биномиальных экспериментов
Следующие эксперименты являются примерами биномиальных экспериментов.
Пример №1
Подбросьте монету 10 раз. Запишите, сколько раз он приземляется на решку.
Это биномиальный эксперимент, поскольку он обладает следующими четырьмя свойствами:
- Эксперимент состоит из n повторных попыток. В этом случае есть 10 испытаний.
- Каждое испытание имеет только два возможных исхода. Монета может приземлиться только орлом или решкой.
- Вероятность успеха одинакова для каждого испытания.Если мы определяем «успех» как приземление орлом, то вероятность успеха составляет ровно 0,5 для каждого испытания.
- Каждое испытание является независимым.Результат одного подбрасывания монеты не влияет на результат любого другого подбрасывания монеты.
Пример #2
Бросьте правильный шестигранный кубик 20 раз. Запишите, сколько раз выпадет цифра 2.
Это биномиальный эксперимент, поскольку он обладает следующими четырьмя свойствами:
- Эксперимент состоит из n повторных попыток. В этом случае есть 20 испытаний.
- Каждое испытание имеет только два возможных исхода. Если мы определим двойку как «успех», то каждый раз, когда кубик падает либо на 2 (успех), либо на какое-то другое число (неудача).
- Вероятность успеха одинакова для каждого испытания.Для каждого испытания вероятность того, что кубик выпадет на 2, равна 1/6. Эта вероятность не меняется от одного испытания к другому.
- Каждое испытание является независимым.Результат одного броска кубика не влияет на результат любого другого броска кубика.
Пример №3
Тайлер выполняет 70% штрафных бросков. Предположим, он делает 15 попыток. Запишите количество корзин, которые он делает.
Это биномиальный эксперимент, поскольку он обладает следующими четырьмя свойствами:
- Эксперимент состоит из n повторных попыток. В этом случае есть 15 испытаний.
- Каждое испытание имеет только два возможных исхода. При каждой попытке Тайлер либо попадает в корзину, либо промахивается.
- Вероятность успеха одинакова для каждого испытания.Для каждого испытания вероятность того, что Тайлер попадет в корзину, составляет 70%. Эта вероятность не меняется от одного испытания к другому.
- Каждое испытание является независимым.Результат одной попытки штрафного броска не влияет на результат любой другой попытки штрафного броска.
Примеры, не являющиеся биномиальными экспериментами
Пример №1
Спросите 100 человек, сколько им лет .
Это не биномиальный эксперимент, поскольку существует более двух возможных исходов.
Пример #2
Бросайте правильный шестигранный кубик, пока не выпадет 5.
Это не биномиальный эксперимент, потому что нет заранее определенного числа n испытаний. Мы понятия не имеем, сколько потребуется бросков, пока не выпадет 5.
Пример №3
Вытяните 5 карт из колоды карт.
Это не биномиальный эксперимент, потому что результат одного испытания (например, вытягивание определенной карты из колоды) влияет на исход будущих испытаний.
Пример и решение биномиального эксперимента
В следующем примере показано, как решить вопрос о биномиальном эксперименте.
Вы подбрасываете монету 10 раз. Какова вероятность того, что монета выпадет орлом ровно 7 раз?
Всякий раз, когда нам нужно найти вероятность n успехов в биномиальном эксперименте, мы должны использовать следующую формулу:
P(ровно k успехов) = n C k * p k * (1-p) nk
куда:
- n: количество испытаний
- k: количество успехов
- C: символ «комбинация»
- p: вероятность успеха в данном испытании
Подставив эти числа в формулу, получим:
P(7 голов) = 10 C 7 * 0,5 7 * (1-0,5) 10-7 = (120) * (0,0078125) * (0,125) = 0,11719 .
Таким образом, вероятность того, что монета выпадет орлом 7 раз, равна 0,11719 .