Чтобы определить, равны ли дисперсии двух совокупностей, мы можем вычислить отношение дисперсии σ 2 1 / σ 2 2 , где σ 2 1 — дисперсия совокупности 1, а σ 2 2 — дисперсия совокупности 2.
Чтобы оценить истинный коэффициент дисперсии совокупности, мы обычно берем простую случайную выборку из каждой совокупности и вычисляем коэффициент выборочной дисперсии s 1 2 / s 2 2 , где s 1 2 и s 2 2 — выборочные дисперсии для выборки 1 и выборки. 2 соответственно.
Этот тест предполагает, что и s 1 2 , и s 2 2 вычисляются из независимых выборок размера n 1 и n 2 , взятых из нормально распределенных совокупностей.
Чем дальше это отношение от единицы, тем сильнее свидетельство неравной дисперсии генеральной совокупности.
(1-α)100% доверительный интервал для σ 2 1 / σ 2 2 определяется как:
(s 1 2 / s 2 2 ) * F n 1 -1, n 2 -1, α/2 ≤ σ 2 1 / σ 2 2 ≤ (s 1 2 / s 2 2 ) * F n 2 -1, n 1 -1, а/2
где F n 2 -1, n 1 -1, α/2 и F n 1 -1, n 2 -1, α/2– критические значения из F-распределения для выбранного уровня значимости α.
Следующие примеры иллюстрируют, как создать доверительный интервал для σ 2 1 / σ 2 2 с использованием трех различных методов:
- Рукой
- Использование MicrosoftExcel
- Использование статистического программного обеспечения R
Для каждого из следующих примеров мы будем использовать следующую информацию:
- α = 0,05
- п 1 = 16
- п 2 = 11
- с 1 2 =28,2
- с 2 2 = 19,3
Создание доверительного интервала вручную
Чтобы рассчитать доверительный интервал для σ 2 1 / σ 2 2 вручную, мы просто подставим имеющиеся числа в формулу доверительного интервала:
(s 1 2 / s 2 2 ) * F n1-1, n2-1,α/2 ≤ σ 2 1 / σ 2 2 ≤ (s 1 2 / s 2 2 ) * F n2-1, n1-1, α/2
Нам не хватает только критических значений. К счастью, мы можем найти эти критические значения в таблице распределения F :
F n2-1, n1-1, α/2 = F 10, 15, 0,025 = 3,0602
F n1-1, n2-1, α/2 = 1/ F 15, 10, 0,025 = 1/3,5217 = 0,2839
(Нажмите, чтобы увеличить таблицу)
Теперь мы можем подставить все числа в формулу доверительного интервала:
(s 1 2 / s 2 2 ) * F n1-1, n2-1,α/2 ≤ σ 2 1 / σ 2 2 ≤ (s 1 2 / s 2 2 ) * F n2-1, n1-1, α/2
(28,2 / 19,3) * (0,2839) ≤ σ 2 1 / σ 2 2 ≤ (28,2 / 19,3) * (3,0602)
0,4148 ≤ σ 2 1 / σ 2 2 ≤ 4,4714
Таким образом, 95-процентный доверительный интервал для отношения дисперсий генеральной совокупности составляет (0,4148, 4,4714) .
Создание доверительного интервала с помощью Excel
На следующем изображении показано, как рассчитать доверительный интервал 95 % для соотношения дисперсий генеральной совокупности в Excel. Нижняя и верхняя границы доверительного интервала отображаются в столбце E, а формула, используемая для нахождения нижней и верхней границ, отображается в столбце F:
Таким образом, 95-процентный доверительный интервал для отношения дисперсий генеральной совокупности составляет (0,4148, 4,4714).Это соответствует тому, что мы получили, когда вычисляли доверительный интервал вручную.
Создание доверительного интервала с помощью R
Следующий код иллюстрирует, как рассчитать 95% доверительный интервал для отношения дисперсий генеральной совокупности в R:
#define significance level, sample sizes, and sample variances
alpha <- .05
n1 <- 16
n2 <- 11
var1 <- 28.2
var2 <- 19.3
#define F critical values
upper_crit <- 1/qf(alpha/2, n1-1, n2-1)
lower_crit <- qf(alpha/2, n2-1, n1-1)
#find confidence interval
lower_bound <- (var1/var2) \* lower_crit
upper_bound <- (var1/var2) \* upper_crit
#output confidence interval
paste0("(", lower_bound,",", upper_bound, " )")
#[1] "(0.414899337980266, 4.47137571035219 )"
Таким образом, 95-процентный доверительный интервал для отношения дисперсий генеральной совокупности составляет (0,4148, 4,4714).Это соответствует тому, что мы получили, когда вычисляли доверительный интервал вручную.
Дополнительные ресурсы
Как читать таблицу F-распределения
Как найти критическое значение F в Excel