Геометрическое распределение описывает вероятность испытать определенное количество неудач, прежде чем испытать первый успех в серии испытаний Бернулли.
Испытание Бернулли — это эксперимент с двумя возможными исходами — «успех» или «неудача» — и вероятность успеха одинакова при каждом проведении эксперимента.
Примером испытания Бернулли является подбрасывание монеты. Монета может приземлиться только с двух сторон (мы можем назвать орел «успехом», а решку «неудачей»), а вероятность успеха при каждом броске равна 0,5, если предположить, что монета честная.
Если случайная величина X подчиняется геометрическому распределению, то вероятность возникновения k отказов до первого успеха может быть найдена по следующей формуле:
P(X=k) = (1-p) k p
куда:
- k: количество неудач до первого успеха
- p: вероятность успеха в каждом испытании
Например, предположим, что мы хотим знать, сколько раз нам придется подбрасывать правильную монету, пока она не упадет орлом. Мы можем использовать приведенную выше формулу, чтобы определить вероятность того, что монета упадет орлом 0, 1, 2, 3 и т. д.:
Примечание. У монеты может быть 0 «провалов», если она приземляется орлом при первом подбрасывании.
Р(Х=0) = (1-0,5) 0 (0,5) = 0,5
Р(Х=1) = (1-0,5) 1 (0,5) = 0,25
Р(Х=2) = (1-0,5) 2 (0,5) = 0,125
Р(Х=3) = (1-0,5) 3 (0,5) = 0,0625
Мы можем рассчитать вероятность любого количества подбрасываний монеты вплоть до бесконечности. Мы создаем, а затем создаем простую гистограмму для визуализации этого распределения вероятностей:
### Вычисление кумулятивных геометрических вероятностей
Кумулятивная вероятность того, что мы столкнемся с k или менее неудачами до первого успеха, может быть найдена по следующей формуле:
P(X≤k) = 1 – (1-p) k+1
куда:
- k: количество неудач до первого успеха
- p: вероятность успеха в каждом испытании
Например, предположим, что мы хотим узнать вероятность того, что потребуется три или меньше «провалов», пока монета, наконец, не упадет орлом. Мы будем использовать следующую формулу для расчета этой вероятности:
P(X≤3) = 1 – (1-0,5) 3+1 = 0,9375
Мы можем рассчитать каждую кумулятивную вероятность, используя аналогичную формулу:
P(X≤0) = 1 – (1-0,5) 0+1 = 0,5
P(X≤1) = 1 – (1-0,5) 1+1 = 0,75
P(X≤2) = 1 – (1-0,5) 2+1 = 0,875
Мы можем рассчитать эти кумулятивные вероятности для любого количества подбрасываний монеты вплоть до бесконечности. Затем мы можем создать гистограмму для визуализации этого кумулятивного распределения вероятностей:
### Свойства геометрического распределения
Геометрическое распределение обладает следующими свойствами:
Среднее значение распределения равно (1-p)/p .
Дисперсия распределения равна (1-p) / p2 .
Например:
Среднее количество раз, которое мы ожидаем, что монета упадет решкой, прежде чем она упадет орлом, будет (1-p) / p = (1-0,5) / 0,5 = 1 .
Разница в количестве подбрасываний до выпадения орла составит (1-p) / p 2 = (1-,5) / 0,5 2 = 2 .
Проблемы практики геометрического распределения
Используйте следующие практические задачи, чтобы проверить свои знания о геометрическом распределении.
Примечание. Мы будем использовать калькулятор геометрического распределения для расчета ответов на эти вопросы.
Проблема 1
Вопрос: Исследователь ждет возле библиотеки, чтобы спросить людей, поддерживают ли они определенный закон. Вероятность того, что данное лицо поддерживает закон, равна p = 0,2. Какова вероятность того, что четвертый человек, с которым разговаривает исследователь, первым поддержит закон?
Ответ: Количество «провалов» до первого успеха, т. е. количество людей, которые не поддерживают закон до тех пор, пока его не поддержит первый человек, равно 3. Таким образом, используя Калькулятор геометрического распределения при p = 0,2 и x = 3 неудач, мы находим, что P(X=3) = 0,10240 .
Проблема 2
Вопрос: Исследователь ждет возле библиотеки, чтобы спросить людей, поддерживают ли они определенный закон. Вероятность того, что данное лицо поддерживает закон, равна p = 0,2. Какова вероятность того, что исследователю придется поговорить более чем с четырьмя людьми, чтобы найти того, кто поддерживает закон?
Ответ: Используя Калькулятор геометрического распределения с p = 0,2 и x = 4 отказа, мы находим, что P(X>4) = 0,32768 .
Проблема 3
Вопрос: Исследователь ждет возле библиотеки, чтобы спросить людей, поддерживают ли они определенный закон. Вероятность того, что данное лицо поддерживает закон, равна p = 0,2. Каково ожидаемое количество людей, с которыми исследователь должен будет поговорить, пока не найдет того, кто поддерживает закон?
Ответ: Вспомните, что среднее значение геометрического распределения равно (1-p)/p.В этой ситуации среднее значение будет (1-0,2) / 0,2 = 4 .