Случайная величина , обычно обозначаемая как X, представляет собой переменную, возможные значения которой являются результатами случайного процесса.
Существует два типа случайных величин: дискретные и непрерывные .
Дискретные случайные величины
Дискретная случайная величина — это переменная, которая может принимать только счетное число различных значений, таких как 0, 1, 2, 3, 4, 5…100, 1 миллион и т. д. Вот некоторые примеры дискретных случайных величин:
- Количество раз, когда монета падает решкой после 20 подбрасываний.
- Сколько раз игральная кость выпадает на число 4 после 100 бросков.
- Количество бракованных изделий в коробке из 50 изделий.
Распределение вероятности для дискретной случайной величины говорит нам о вероятности того, что случайная величина примет определенные значения.
Например, предположим, что мы один раз бросили честную кость. Если мы обозначим через X вероятность того, что кубик выпадет на определенное число, то распределение вероятностей можно записать как:
- Р(Х=1): 1/6
- Р(Х=2): 1/6
- Р(Х=3): 1/6
- Р(Х=4): 1/6
- Р(Х=5): 1/6
- Р(Х=6): 1/6
Примечание:
Чтобы распределение вероятностей было действительным, оно должно удовлетворять следующим двум критериям:
1. Вероятность каждого исхода должна быть от 0 до 1.
2. Сумма всех вероятностей должна составлять 1.
Обратите внимание, что распределение вероятности броска кости удовлетворяет обоим этим критериям:
1. Вероятность каждого результата находится в диапазоне от 0 до 1.
2. Сумма всех вероятностей составляет 1.
Мы можем использовать гистограмму для визуализации распределения вероятностей:
Кумулятивное распределение вероятностей для дискретной случайной величины говорит нам о вероятности того, что переменная примет значение, равное или меньшее некоторого значения.
Например, кумулятивное распределение вероятностей для броска кубика будет выглядеть так:
- Р(Х≤1): 1/6
- Р(Х≤2): 2/6
- Р(Х≤3): 3/6
- Р(Х≤4): 4/6
- Р(Х≤5): 5/6
- Р(Х≤6): 6/6
Вероятность того, что кубик выпадет на единицу или меньше, равна просто 1/6, поскольку он не может выпасть на число меньше единицы.
Вероятность того, что выпадет двойка или меньше, равна P(X=1) + P(X=2) = 1/6 + 1/6 = 2/6.
Точно так же вероятность того, что выпадет тройка или меньше, равна P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) = 1/6 + 1/6 + 1/6 = 3/6, и так далее.
Мы также можем использовать гистограмму для визуализации кумулятивного распределения вероятностей:
Непрерывные случайные величины
Непрерывная случайная величина — это переменная, которая может принимать бесконечное число возможных значений. Некоторые примеры непрерывных случайных величин включают:
- Вес животного
- Рост человека
- Время, необходимое для пробежки марафона
Например, рост человека может быть 60,2 дюйма, 65,2344 дюйма, 70,431222 дюйма и т. д. Существует бесконечное количество возможных значений роста.
Практическое правило:
Если вы можете подсчитать количество результатов, то вы работаете с дискретной случайной величиной, например, подсчитывая, сколько раз монета падает орлом.
Но если вы можете измерить результат, вы работаете с непрерывной случайной величиной — например, измеряете рост, вес, время и т. д.
Распределение вероятностей для непрерывной случайной величины говорит нам о вероятности того, что случайная величина примет определенные значения.
Однако, в отличие от распределения вероятностей для дискретных случайных величин, распределение вероятностей для непрерывной случайной величины можно использовать только для того, чтобы сообщить нам вероятность того, что переменная принимает диапазон значений.
Например, предположим, что мы хотим узнать вероятность того, что бургер из определенного ресторана весит четверть фунта (0,25 фунта). Поскольку вес — непрерывная переменная, он может принимать бесконечное число значений.
Например, данный бургер может на самом деле весить 0,250001 фунта, или 0,24 фунта, или 0,2488 фунта. Вероятность того, что данный бургер весит ровно 0,25 фунта, практически равна нулю.
Таким образом, мы могли бы использовать только распределение вероятностей, чтобы сообщить нам вероятность того, что гамбургер весит меньше 0,25 фунта, больше 0,25 фунта или находится в каком-то диапазоне (например, между 0,23 фунта и 0,27 фунта).
Дополнительные ресурсы
Следующие руководства предоставляют дополнительную информацию о случайных переменных:
Что такое случайные величины iid?
10 примеров случайных величин в реальной жизни