Гипергеометрическое распределение описывает вероятность выбора k объектов с определенным признаком за n розыгрышей без замены из конечной популяции размера N , содержащей K объектов с этим признаком.
Если случайная величина X следует гипергеометрическому распределению, то вероятность выбора k объектов с определенным признаком может быть найдена по следующей формуле:
P(X=k) = K C k ( NK C nk ) / N C n
куда:
- N: численность населения
- K: количество объектов в популяции с определенным признаком
- n: размер выборки
- k: количество объектов в выборке с определенным признаком
- K C k : количество комбинаций K вещей, взятых k за раз
Например, в стандартной колоде из 52 карт 4 дамы. Предположим, мы случайным образом выбираем карту из колоды, затем, без замены, случайным образом выбираем другую карту из колоды. Какова вероятность того, что обе карты дамы?
Чтобы ответить на этот вопрос, мы можем использовать гипергеометрическое распределение со следующими параметрами:
- N: численность населения = 52 карты
- K: количество объектов в популяции с определенной характеристикой = 4 королевы.
- n: размер выборки = 2 розыгрыша
- k: количество объектов в выборке с определенным признаком = 2 королевы
Подставляя эти числа в формулу, мы находим вероятность:
P(X=2) = K C k ( NK C nk ) / N C n = 4 C 2 ( 52-4 C 2-2 ) / 52 C 2 = 6 * 1/ 1326 = 0,00452 .
Это должно иметь смысл интуитивно. Если представить, что вы вытаскиваете две карты из колоды одну за другой, вероятность того, что обе карты — дамы, должна быть очень низкой.
Свойства гипергеометрического распределения
Гипергеометрическое распределение обладает следующими свойствами:
Среднее значение распределения (nK) / N
Дисперсия распределения равна (nK)(NK)(Nn)/(N 2 (n-1))
Проблемы практики гипергеометрического распределения
Используйте следующие практические задачи, чтобы проверить свои знания о гипергеометрическом распределении.
Примечание. Мы будем использовать калькулятор гипергеометрического распределения для расчета ответов на эти вопросы.
Проблема 1
Вопрос: Предположим, мы случайным образом выбираем четыре карты из колоды без замены. Какова вероятность того, что две из карт - дамы?
Чтобы ответить на этот вопрос, мы можем использовать гипергеометрическое распределение со следующими параметрами:
- N: численность населения = 52 карты
- K: количество объектов в популяции с определенной характеристикой = 4 королевы.
- n: размер выборки = 4 розыгрыша
- k: количество объектов в выборке с определенным признаком = 2 королевы
Подставив эти числа в калькулятор гипергеометрического распределения, мы находим вероятность равной 0,025 .
Проблема 2
Вопрос: В урне 3 красных и 5 зеленых шаров. Вы случайным образом выбираете 4 шара. Какова вероятность того, что вы выберете ровно 2 красных шара?
Чтобы ответить на этот вопрос, мы можем использовать гипергеометрическое распределение со следующими параметрами:
- N: размер популяции = 8 мячей
- K: количество объектов в популяции с определенной характеристикой = 3 красных шара.
- n: размер выборки = 4 розыгрыша
- k: количество объектов в выборке с определенным признаком = 2 красных шара.
Подставив эти числа в калькулятор гипергеометрического распределения, мы находим вероятность равной 0,42857 .
Проблема 3
Вопрос: В корзине 7 фиолетовых и 3 розовых шарика. Вы случайным образом выбираете 6 шариков. Какова вероятность того, что вы выберете ровно 3 розовых шарика?
Чтобы ответить на этот вопрос, мы можем использовать гипергеометрическое распределение со следующими параметрами:
- N: численность населения = 10 шариков
- K: количество объектов в популяции с определенной характеристикой = 3 розовых шара.
- n: размер выборки = 6 розыгрышей
- k: количество объектов в выборке с определенным признаком = 3 розовых шара
Подставив эти числа в калькулятор гипергеометрического распределения, мы находим вероятность равной 0,16667 .