Тау Кендалла: определение + пример

В статистике корреляция относится к силе и направлению связи между двумя переменными. Значение коэффициента корреляции может варьироваться от -1 до 1, где -1 указывает на полную отрицательную связь, 0 указывает на отсутствие связи и 1 указывает на полную положительную связь.

Наиболее часто используемым коэффициентом корреляции является коэффициент корреляцииПирсона , который измеряет линейную связь между двумя числовыми переменными.

Одним из менее часто используемых коэффициентов корреляции является Тау Кендалла , который измеряет взаимосвязь между двумя столбцами ранжированных данных.

Формула для расчета тау Кендалла, часто обозначаемая аббревиатурой τ, выглядит следующим образом:

τ = (CD) / (C+D)

куда:

C = количество согласных пар

D = количество несогласующихся пар

В следующем примере показано, как использовать эту формулу для вычисления коэффициента ранговой корреляции Тау Кендалла для двух столбцов ранжированных данных.

Пример расчета тау Кендалла

Предположим, два тренера по баскетболу ранжируют 12 своих игроков от худшего к лучшему. В следующей таблице показаны рейтинги, которые каждый тренер присвоил игрокам:

Поскольку мы работаем с двумя столбцами ранжированных данных, уместно использовать Тау Кендалла для расчета корреляции между рейтингами двух тренеров. Используйте следующие шаги для расчета Тау Кендалла:

Шаг 1: Подсчитайте количество согласных пар.

Посмотрите только на ранги тренера №2. Начиная с первого игрока, посчитайте, на сколько рядов ниже него больше.Например, ниже «1» есть 11 чисел, которые больше, поэтому мы напишем 11:

Перейдите к следующему игроку и повторите процесс. Ниже «2» есть 10 чисел, которые больше, поэтому мы напишем 10:

Как только мы достигаем игрока, чей ранг меньше , чем у игрока до него, мы просто присваиваем ему то же значение, что и у игрока до него. Например, у Эллиота ранг «4», что меньше ранга предыдущего игрока «5», поэтому мы просто присваиваем ему то же значение, что и игроку до него:

Повторите этот процесс для всех игроков:

Шаг 2: Подсчитайте количество несогласующихся пар.

Опять же, смотрите только на ранги тренера №2. Для каждого игрока посчитайте, на сколько рангов под ним меньше.Например, тренер № 2 присвоил AJ ранг «1», и ниже него нет игроков с меньшим рангом. Таким образом, мы присваиваем ему значение 0:

Повторите этот процесс для каждого игрока:

Шаг 3: Подсчитайте сумму каждого столбца и найдите Тау Кендалла.

Тау Кендалла = (CD) / (C+D) = (63-3) / (63+3) = (60/66) = 0,909 .

Статистическая значимость тау Кендалла

Когда у вас более n = 10 пар, тау Кендалла обычно следует нормальному распределению. Вы можете использовать следующую формулу для расчета z-показателя тау Кендалла:

z = 3τ * √ n (n-1) / √ 2 (2n + 5)

куда:

τ = значение, которое вы рассчитали для Тау Кендалла

n = количество пар

Вот как вычислить z для предыдущего примера:

z = 3(0,909)*√12 (12-1) /√2 (2*12+5) = 4,11 .

Используя калькулятор Z-оценки для P-значения , мы видим, что p-значение для этой z-оценки составляет 0,00004 , что является статистически значимым при альфа-уровне 0,05. Таким образом, существует статистически значимая корреляция между рангами, которые два тренера присвоили игрокам.

Бонус: как рассчитать Тау Кендалла в R

В статистическом программном обеспечении R вы можете использовать функцию kendall.tau() из библиотеки VGAM для вычисления Тау Кендалла для двух векторов, которая использует следующий синтаксис:

kendall.tau(x, y)

где x и y — два числовых вектора одинаковой длины.

Следующий код иллюстрирует, как рассчитать Тау Кендалла для точных данных, которые мы использовали в предыдущем примере:

#load *VGAM*library(VGAM)

#create vector for each coach's rankings
coach_1 <- c(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12)
coach_2 <- c(1, 2, 3, 5, 4, 7, 6, 8, 10, 9, 11, 12)

#calculate Kendall's Tau
kendall.tau(coach_1, coach_2)

#[1] 0.9090909

Обратите внимание, как значение Тау Кендалла совпадает со значением, рассчитанным нами вручную.