Отрицательное биномиальное распределение описывает вероятность испытать определенное количество неудач, прежде чем испытать определенное количество успехов в серии испытаний Бернулли.
Испытание Бернулли — это эксперимент с двумя возможными исходами — «успех» или «неудача» — и вероятность успеха одинакова при каждом проведении эксперимента.
Примером испытания Бернулли является подбрасывание монеты. Монета может приземлиться только с двух сторон (мы можем назвать орел «успехом», а решку «неудачей»), а вероятность успеха при каждом броске равна 0,5, если предположить, что монета честная.
Если случайная величина X подчиняется отрицательному биномиальному распределению, то вероятность испытать k неудач, прежде чем испытать r успехов, можно найти по следующей формуле:
P(X=k) = k+r-1 C k * (1-p) r *p k
куда:
- k: количество отказов
- р: количество успехов
- p: вероятность успеха в данном испытании
- k+r-1 C k : количество комбинаций из (k+r-1) вещей, взятых k за раз
Например, предположим, что мы подбрасываем монету и определяем «успешное» событие как выпадение орла. Какова вероятность испытать 6 неудач, прежде чем испытать в общей сложности 4 успеха?
Чтобы ответить на этот вопрос, мы можем использовать отрицательное биномиальное распределение со следующими параметрами:
- k: количество отказов = 6
- р: количество успехов = 4
- p: вероятность успеха в данном испытании = 0,5.
Подставляя эти числа в формулу, мы находим вероятность:
P(X=6 отказов) = 6+4-1 C 6 * (1-0,5) 4 *(0,5) 6 = (84)*(0,0625)*(0,015625) = 0,08203 .
Свойства отрицательного биномиального распределения
Отрицательное биномиальное распределение обладает следующими свойствами:
Среднее количество неудач, которые мы ожидаем до достижения r успехов, равно pr / (1-p) .
Дисперсия числа неудач, которые мы ожидаем до достижения r успехов, равна pr / (1-p) 2 .
Например, предположим, что мы подбрасываем монету и определяем «успешное» событие как выпадение орла.
Среднее количество неудач (например, приземление решкой), которое мы ожидаем до достижения 4 успехов, будет равно pr/(1-p) = (0,5*4) / (1-0,5) = 4 .
Разница в количестве неудач, которые мы ожидаем до достижения 4 успехов, будет равна pr / (1-p) 2 = (0,5 * 4) / (1-0,5) 2 = 8 .
Проблемы практики отрицательного биномиального распределения
Используйте следующие практические задачи, чтобы проверить свои знания об отрицательном биномиальном распределении.
Примечание. Для расчета ответов на эти вопросы мы будем использовать калькулятор отрицательного биномиального распределения .
Проблема 1
Вопрос: Предположим, мы подбрасываем монету и определяем «успешное» событие как выпадение орла. Какова вероятность испытать 3 неудачи, прежде чем испытать в общей сложности 4 успеха?
Ответ: Используя калькулятор отрицательного биномиального распределения с k = 3 неудачами, r = 4 успехами и p = 0,5, мы находим, что P(X=3) = 0,15625 .
Проблема 2
Вопрос: Предположим, мы ходим по домам и продаем конфеты. Мы считаем «успехом», если кто-то покупает шоколадный батончик. Вероятность того, что любой данный человек купит шоколадный батончик, равна 0,4. Какова вероятность испытать 8 неудач, прежде чем мы испытаем в общей сложности 5 успехов?
Ответ: Используя калькулятор отрицательного биномиального распределения с k = 8 неудачами, r = 5 успехами и p = 0,4, мы находим, что P(X=8) = 0,08514 .
Проблема 3
Вопрос: Предположим, мы бросаем кубик и определяем «успешный» бросок как выпадение числа 5. Вероятность того, что кубик выпадет 5 при любом заданном броске, составляет 1/6 = 0,167. Какова вероятность испытать 4 неудачи, прежде чем мы испытаем в общей сложности 3 успеха?
Ответ: Используя калькулятор отрицательного биномиального распределения с k = 4 неудачами, r = 3 успехами и p = 0,167, мы находим, что P(X=4) = 0,03364 .