Z-тест одной пропорции: определение, формула и пример

Редакция Кодкампа -

Z-критерий одной пропорции используется для сравнения наблюдаемой пропорции с теоретической.

В этом руководстве объясняется следующее:

  • Мотивация для выполнения z-теста одной пропорции.
  • Формула для выполнения z-теста одной пропорции.
  • Пример выполнения z-теста с одной пропорцией.

Z-тест одной пропорции: мотивация

Предположим, мы хотим знать, равна ли доля людей в определенном округе, поддерживающих определенный закон, 60%. Поскольку в округе проживают тысячи жителей, было бы слишком дорого и долго ходить и спрашивать каждого жителя об их отношении к закону.

Вместо этого мы могли бы выбрать простую случайную выборку жителей и спросить каждого из них, поддерживают ли они закон:

Однако практически гарантировано, что доля жителей в выборке, поддерживающих закон, будет хотя бы немного отличаться от доли жителей во всем населении, поддерживающих закон. Вопрос в том, является ли эта разница статистически значимой.К счастью, z-критерий одной пропорции позволяет нам ответить на этот вопрос.

Z-тест одной пропорции: формула

Z-тест с одной пропорцией всегда использует следующую нулевую гипотезу:

  • H 0 : p = p 0 (доля населения равна некоторой гипотетической пропорции населения p 0 )

Альтернативная гипотеза может быть двусторонней, левосторонней или правосторонней:

  • H 1 (двусторонний): p ≠ p 0 (доля населения не равна некоторому гипотетическому значению p 0 )
  • H 1 (левосторонний): p < p 0 (доля населения меньше некоторого гипотетического значения p 0 )
  • H 1 (правосторонний): p > p 0 (доля населения больше некоторого гипотетического значения p 0 )

Мы используем следующую формулу для расчета тестовой статистики z:

z = (pp 0 ) / √ p 0 (1-p 0 )/n

куда:

  • p: наблюдаемая доля выборки
  • p 0 : предполагаемая доля населения
  • n: размер выборки

Если p-значение, соответствующее тестовой статистике z, меньше выбранного вами уровня значимости (обычно это 0,10, 0,05 и 0,01), то вы можете отклонить нулевую гипотезу.

Z-тест одной пропорции : пример

Предположим, мы хотим узнать, равна ли доля жителей определенного округа, поддерживающих определенный закон, 60%. Чтобы проверить это, выполним z-тест одной пропорции на уровне значимости α = 0,05, используя следующие шаги:

Шаг 1: Соберите образцы данных.

Предположим , мы опросили случайную выборку жителей и получили следующую информацию:

  • p: наблюдаемая доля выборки = 0,64
  • p 0 : гипотетическая доля населения = 0,60
  • n: размер выборки = 100

Шаг 2: Определите гипотезы.

Мы проведем одновыборочный t-тест со следующими гипотезами:

  • H 0 : p = 0,60 (доля населения равна 0,60)
  • H 1 : p ≠ 0,60 (доля населения не равна 0,60)

Шаг 3: Рассчитайте тестовую статистику z .

z = (pp 0 ) / √ p 0 (1-p 0 )/n = (0,64-0,6) / √ 0,6(1-0,6)/100 = 0,816

Шаг 4: Рассчитайте p-значение тестовой статистики z .

Согласно калькулятору Z Score to P Value , двустороннее значение p, связанное с z = 0,816, составляет 0,4145 .

Шаг 5: Сделайте вывод.

Поскольку это p-значение не меньше нашего уровня значимости α = 0,05, мы не можем отвергнуть нулевую гипотезу. У нас нет достаточных оснований утверждать, что доля жителей, поддерживающих закон, отличается от 0,60.

Примечание. Вы также можете выполнить весь этот z-тест для одной пропорции, просто воспользовавшись Калькулятором Z-теста для одной пропорции.

Дополнительные ресурсы

Как выполнить Z-тест одной пропорции в Excel
Калькулятор Z-теста одной пропорции