Мы можем использовать следующую общую формулу, чтобы найти вероятность по крайней мере трех успехов в серии испытаний:
P(at least 3) = 1 - P(0 successes) - P(1 success) - P(2 successes)
В приведенной выше формуле мы можем рассчитать каждую вероятность, используя следующую формулу для биномиального распределения :
P(X=k) = n C k * p k * (1-p) nk
куда:
- n: количество испытаний
- k: количество успехов
- p: вероятность успеха в данном испытании
- n C k : количество способов добиться k успехов в n испытаниях.
В следующих примерах показано, как использовать эту формулу для определения вероятности «по крайней мере трех» успехов в различных сценариях.
Пример 1: Попытки свободного броска
Тай совершает 25% штрафных бросков. Если он делает 5 штрафных бросков, найдите вероятность того, что он сделает хотя бы три.
Сначала посчитаем вероятность того, что он выполнит ровно ноль, ровно один или ровно два штрафных броска:
P(X=0) = 5 C 0 * 0,25 0 * (1-0,25) 5-0 = 1 * 1 * 0,75 5 = 0,2373
P(X=1) = 5 C 1 * 0,25 1 * (1-0,25) 5-1 = 5 * 0,25 * 0,75 4 = 0,3955
P(X=2) = 5 C 2 * 0,25 2 * (1-0,25) 5-2 = 10 * 0,0625 * 0,75 3 = 0,2636
Затем давайте подставим эти значения в следующую формулу, чтобы найти вероятность того, что Тай выполнит не менее трех штрафных бросков:
- Р(Х≥3) = 1 – Р(Х=0) – Р(Х=1) – Р(Х=2)
- P(X≥3) = 1 – 0,2373 – 0,3955 – 0,2636
- Р(Х≥3) = 0,1036
Вероятность того, что Тай выполнит не менее трех штрафных бросков за пять попыток, равна 0,1036 .
Пример 2: виджеты
На данной фабрике браковано 2% всех изделий. В случайной выборке из 10 изделий найти вероятность того, что хотя бы два из них будут бракованными.
Во-первых, давайте посчитаем вероятность того, что ровно ноль, ровно один или ровно два дефекта:
P(X=0) = 10 C 0 * 0,02 0 * (1-0,02) 10-0 = 1 * 1 * 0,98 10 = 0,8171
P(X=1) = 10 C 1 * 0,02 1 * (1-0,02) 10-1 = 10 * 0,02 * 0,98 9 = 0,1667
P(X=2) = 10 С 2 * 0,02 2 * (1-0,02) 10-2 = 45 * 0,0004 * 0,98 8 = 0,0153
Затем давайте подставим эти значения в следующую формулу, чтобы найти вероятность того, что по крайней мере три виджета неисправны:
- Р(Х≥3) = 1 – Р(Х=0) – Р(Х=1) – Р(Х=2)
- Р(Х≥3) = 1 – 0,8171 – 0,1667 – 0,0153
- Р(Х≥3) = 0,0009
Вероятность того, что в этой случайной выборке из 10 бракованных изделий по крайней мере три изделия будут бракованными, равна 0,0009 .
Пример 3: простые вопросы
Боб правильно отвечает на 60% простых вопросов. Если мы зададим ему 5 простых вопросов, найдем вероятность того, что он ответит правильно хотя бы на три.
Во-первых, посчитаем вероятность того, что он ответит ровно ноль, ровно один или ровно два правильных ответа:
P(X=0) = 5 C 0 * 0,60 0 * (1-0,60) 5-0 = 1 * 1 * 0,40 5 = 0,01024
P(X=1) = 5 C 1 * 0,60 1 * (1-0,60) 5-1 = 5 * 0,60 * 0,40 4 = 0,0768
P(X=2) = 5 C 2 * 0,60 2 * (1-0,60) 5-2 = 10 * 0,36 * 0,40 3 = 0,2304
Затем давайте подставим эти значения в следующую формулу, чтобы найти вероятность того, что он правильно ответит как минимум на три вопроса:
- Р(Х≥3) = 1 – Р(Х=0) – Р(Х=1) – Р(Х=2)
- Р(Х≥3) = 1 – 0,01024 – 0,0768 – 0,2304
- Р(Х≥3) = 0,6826
Вероятность того, что он ответит правильно хотя бы на три вопроса из пяти, равна 0,6826 .
Бонус: калькулятор вероятности «по крайней мере три»
Используйте этот калькулятор , чтобы автоматически найти вероятность «по крайней мере трех» успехов на основе вероятности успеха в данном испытании и общего количества испытаний.