Как найти вероятность «по крайней мере двух» успехов

Редакция Кодкампа -

Мы можем использовать следующую общую формулу, чтобы найти вероятность по крайней мере двух успехов в серии испытаний:

P(at least two successes) = 1 - P(zero successes) - P(one success)

В приведенной выше формуле мы можем рассчитать каждую вероятность, используя следующую формулу для биномиального распределения :

P(X=k) = n C k * p k * (1-p) nk

куда:

  • n: количество испытаний
  • k: количество успехов
  • p: вероятность успеха в данном испытании
  • n C k : количество способов добиться k успехов в n испытаниях.

В следующих примерах показано, как использовать эту формулу для определения вероятности «по крайней мере двух» успехов в различных сценариях.

Пример 1: Попытки свободного броска

Тай совершает 25% штрафных бросков. Если он делает 5 штрафных бросков, найдите вероятность того, что он сделает хотя бы два.

Сначала посчитаем вероятность того, что он выполнит ровно ноль штрафных бросков или ровно один штрафной бросок:

P(X=0) = 5 C 0 * 0,25 0 * (1-0,25) 5-0 = 1 * 1 * 0,75 5 = 0,2373

P(X=1) = 5 C 1 * 0,25 1 * (1-0,25) 5-1 = 5 * 0,25 * 0,75 4 = 0,3955

Затем давайте подставим эти значения в следующую формулу, чтобы найти вероятность того, что Тай выполнит как минимум два штрафных броска:

  • Р(Х≥2) = 1 – Р(Х=0) – Р(Х=1)
  • Р(Х≥2) = 1 – 0,2372 – 0,3955
  • Р(Х≥2) = 0,3673

Вероятность того, что Тай совершит хотя бы два штрафных броска за пять попыток, равна 0,3673 .

Пример 2: виджеты

На данной фабрике браковано 2% всех изделий. В случайной выборке из 10 изделий найти вероятность того, что хотя бы два из них будут бракованными.

Во-первых, посчитаем вероятность того, что ровно ноль или ровно один дефект:

P(X=0) = 10 C 0 * 0,02 0 * (1-0,02) 10-0 = 1 * 1 * 0,98 10 = 0,8171

P(X=1) = 10 C 1 * 0,02 1 * (1-0,02) 10-1 = 10 * 0,02 * 0,98 9 = 0,1667

Затем давайте подставим эти значения в следующую формулу, чтобы найти вероятность того, что по крайней мере два виджета неисправны:

  • Р(Х≥2) = 1 – Р(Х=0) – Р(Х=1)
  • Р(Х≥2) = 1 – 0,8171 – 0,1667
  • Р(Х≥2) = 0,0162

Вероятность того, что в этой случайной выборке из 10 изделий дефектными будут как минимум два изделия, равна 0,0162 .

Пример 3: простые вопросы

Боб правильно отвечает на 60% простых вопросов. Если мы зададим ему 5 простых вопросов, найдем вероятность того, что он ответит правильно хотя бы на два.

Во-первых, посчитаем вероятность того, что он ответит ровно ноль или ровно единицу правильно:

P(X=0) = 5 C 0 * 0,60 0 * (1-0,60) 5-0 = 1 * 1 * 0,40 5 = 0,01024

P(X=1) = 5 C 1 * 0,60 1 * (1-0,60) 5-1 = 5 * 0,60 * 0,40 4 = 0,0768

Затем давайте подставим эти значения в следующую формулу, чтобы найти вероятность того, что он правильно ответит хотя бы на два вопроса:

  • Р(Х≥2) = 1 – Р(Х=0) – Р(Х=1)
  • Р(Х≥2) = 1 – 0,01024 – 0,0768
  • Р(Х≥2) = 0,91296

Вероятность того, что он ответит правильно хотя бы на два вопроса из пяти, равна 0,91296 .

Бонус: калькулятор вероятности «по крайней мере два»

Используйте этот калькулятор , чтобы автоматически найти вероятность «по крайней мере двух» успехов на основе вероятности успеха в данном испытании и общего количества испытаний.