Как выполнить дисперсионный анализ с повторными измерениями вручную

Редакция Кодкампа -

Повторные измерения ANOVA используются для определения того, существует ли статистически значимая разница между средними значениями трех или более групп, в которых одни и те же субъекты обнаруживаются в каждой группе.

В этом учебном пособии объясняется, как выполнить однофакторный дисперсионный анализ с повторными измерениями вручную.

Пример. Однофакторный дисперсионный анализ с повторными измерениями вручную

Исследователи хотят знать, приводят ли три разных препарата к разному времени реакции. Чтобы проверить это, они измеряют время реакции (в секундах) пяти пациентов на каждое лекарство. Результаты показаны ниже:

Поскольку каждый пациент измеряется на каждом из трех препаратов, мы будем использовать однофакторный дисперсионный анализ с повторными измерениями, чтобы определить, отличается ли среднее время реакции между препаратами.

Используйте следующие шаги для выполнения повторных измерений ANOVA вручную:

Шаг 1: Рассчитайте SST.

Сначала рассчитаем общую сумму квадратов (SST), которую можно найти по следующей формуле:

SST = s 2 всего (n всего -1)

куда:

  • s 2 total : дисперсия для всего набора данных
  • n total : общее количество наблюдений во всем наборе данных

В этом примере мы вычисляем SST следующим образом: (64,2667)(15-1) = 899,7.

Шаг 2: Рассчитайте SSB

Далее мы рассчитаем сумму квадратов между (SSB), которую можно найти по следующей формуле:

SSB = Σn j ( x j – x всего ) 2

куда:

  • Σ : греческий символ, означающий «сумма».
  • n j : общее количество наблюдений в j -й группе
  • x j : среднее значение j -й группы
  • x total : среднее значение всего набора данных

В этом примере мы вычисляем SSB как: (5)(26,4-22,533) 2 +(5)(25,6-22,533) 2 + (5)(15,6-22,533) 2 = 362,1

Шаг 3: Рассчитайте SSS.

Далее рассчитаем предметную сумму квадратов (ССС), которую можно найти по следующей формуле:

SSS =(Σr 2 k /c) – (N 2 /rc)

куда:

  • Σ : греческий символ, означающий «сумма».
  • r 2 k : сумма квадратов k -го пациента
  • N: общая сумма всего набора данных
  • r: общее количество пациентов
  • c: общее количество групп

В этом примере мы вычисляем SSS следующим образом: ((74 2 + 42 2 + 62 2 + 92 2 + 68 2 )/3) – (338 2 /(5)(3)) = 441,1

Шаг 4: Рассчитайте SSE.

Далее рассчитаем сумму квадратов ошибок (СКО), которую можно найти по следующей формуле:

SSE = SST – SSB – SSS

В этом примере мы рассчитываем SSE следующим образом: 899,7 – 362,1 – 441,1 = 96,5 .

Шаг 5: Заполните таблицу повторных измерений ANOVA.

Теперь, когда у нас есть SSB, SSS и SSE, мы можем заполнить таблицу повторных измерений ANOVA:

| Источник | Сумма квадратов (СС) | дф | Средние квадраты (MS) | Ф | | --- | --- | --- | --- | --- | | Между | 362,1 | 2 | 181,1 | 15.006 | | Предмет | 441,1 | 4 | 110,3 |  | | Ошибка | 96,5 | 8 | 12.1 |  |

Вот как мы рассчитали различные числа в таблице:

  • df между: #groups – 1 = 3 – 1 = 2
  • df subject: #участники – 1 = 5 – 1 = 4
  • ошибка df: df между * df subject = 2*4 = 8
  • МС между: SSB/df между = 362,1/2 = 181,1
  • Предмет MS: SSS/df предмет = 441,1/4 = 110,3
  • Ошибка MS: ошибка SSE/df = 96,5/8 = 12,1
  • F: МС между / ошибка МС = 181,1/12,1 = 15,006

Шаг 6: Интерпретируйте результаты.

Статистика F-теста для этого одностороннего дисперсионного анализа с повторными измерениями составляет 15,006.Чтобы определить, является ли это статистически значимым результатом, мы должны сравнить его с критическим значением F, найденным втаблице распределения F со следующими значениями:

  • α (уровень значимости) = 0,05
  • DF1 (числитель степеней свободы) = df между = 2
  • DF2 (степени свободы в знаменателе) = ошибка df = 8

Мы находим, что критическое значение F равно 4,459 .

Поскольку статистика F-теста в таблице ANOVA больше, чем критическое значение F в таблице F-распределения, мы отклоняем нулевую гипотезу. Это означает, что у нас есть достаточно доказательств, чтобы сказать, что существует статистически значимая разница между средним временем отклика препаратов.