Двухпропорционный Z-тест: определение, формула и пример

Z-критерий двух пропорций используется для проверки разницы между двумя пропорциями населения.

В этом руководстве объясняется следующее:

Мотивация для выполнения двухпропорционального z-теста.
Формула для выполнения двухпроцентного z-теста.
Пример выполнения двухпропорционального z-теста.

Z-тест двух пропорций: мотивация

Предположим, мы хотим узнать, существует ли разница в доле жителей, поддерживающих определенный закон в округе А, по сравнению с долей жителей, поддерживающих закон в округе Б.

Поскольку в каждом округе проживают тысячи жителей, было бы слишком долго и дорого обходиться и опрашивать каждого отдельного жителя в каждом округе.

Вместо этого мы могли бы взять простую случайную выборку жителей из каждого округа и использовать пропорцию в пользу закона в каждой выборке, чтобы оценить истинную разницу в пропорциях между двумя округами:

Однако практически гарантировано, что доля жителей, поддерживающих закон, будет хотя бы немного различаться между двумя выборками. Вопрос в том, является ли эта разница статистически значимой.К счастью, z-критерий с двумя пропорциями позволяет нам ответить на этот вопрос.

Двухпропорционный Z-тест: формула

Z-тест с двумя пропорциями всегда использует следующую нулевую гипотезу:

H 0 : μ 1 = μ 2 (две доли населения равны)

Альтернативная гипотеза может быть двусторонней, левосторонней или правосторонней:

H 1 (двусторонний): π 1 ≠ π 2 (пропорции двух популяций не равны)
H 1 (левосторонний): π 1 < π 2 (доля популяции 1 меньше доли популяции 2)
H 1 (правосторонний): π 1 > π 2 (доля популяции 1 больше доли популяции 2)

Мы используем следующую формулу для расчета тестовой статистики z:

z = (p 1 -p 2 ) / √ p(1-p)(1/n 1 +1/n 2 )

где p 1 и p 2 — пропорции выборки, n 1 и n 2 — размеры выборки, и где p — общая объединенная доля, рассчитанная как:

p = (p 1 n 1 + p 2 n 2 )/(n 1 + n 2 )

Если p-значение, соответствующее тестовой статистике z, меньше выбранного вами уровня значимости (обычно это 0,10, 0,05 и 0,01), то вы можете отклонить нулевую гипотезу.

Двухпропорционный Z-тест : Пример

Чтобы проверить это, выполним двухпроцентный z-тест на уровне значимости α = 0,05, используя следующие шаги:

Шаг 1: Соберите образцы данных.

Предположим, мы собираем случайную выборку жителей из каждого округа и получаем следующую информацию:

Образец 1:

Объем выборки n 1 = 50
Доля в пользу закона p 1 = 0,67

Образец 2:

Объем выборки n 2 = 50
Доля в пользу закона p 2 = 0,57

Шаг 2: Определите гипотезы.

Мы проведем двухпроцентный z-тест со следующими гипотезами:

H 0 : π 1 = π 2 (две доли населения равны)
H 1 : π 1 ≠ π 2 (две доли населения не равны)

Шаг 3: Рассчитайте тестовую статистику z .

Сначала мы рассчитаем общую объединенную долю:

p = (p 1 n 1 + p 2 n 2 )/(n 1 +n 2 ) = (0,67(50) + 0,57(50))/(50+50) = 0,62

Далее мы рассчитаем тестовую статистику z :

z = (p 1 -p 2 ) / √ p(1-p)(1/n 1 +1/n 2 ) = (0,67-0,57) / √ 0,62(1-0,62)(1/50 + 1/50 ) = 1,03

Шаг 4: Рассчитайте p-значение тестовой статистики z .

Согласно калькулятору Z Score to P Value , двустороннее значение p, связанное с z = 1,03, составляет 0,30301 .

Шаг 5: Сделайте вывод.

Поскольку это p-значение не меньше нашего уровня значимости α = 0,05, мы не можем отвергнуть нулевую гипотезу. У нас нет достаточных доказательств, чтобы сказать, что доля жителей, поддерживающих этот закон, различается между двумя округами.

Примечание. Вы также можете выполнить весь этот z-тест для двух пропорций, просто воспользовавшись Калькулятором Z-теста для двух пропорций.

Дополнительные ресурсы

Как выполнить двухпропорционный Z-тест в Excel
Калькулятор Z-теста для двух пропорций