Равномерное распределение — это такое распределение вероятностей, при котором каждое значение в интервале от a до b равновероятно.
Если случайная величина X подчиняется равномерному распределению, то вероятность того, что X примет значение между x 1 и x 2 , можно найти по следующей формуле:
P(x 1 < X < x 2 ) = (x 2 – x 1 ) / (b – a)
куда:
- x 1 : меньшее процентное значение
- x 2 : верхнее процентное значение
- а: минимально возможное значение
- б: максимально возможное значение
Например, предположим, что вес дельфинов равномерно распределен между 100 и 150 фунтами.
Если мы случайным образом выберем дельфина наугад, мы можем использовать приведенную выше формулу, чтобы определить вероятность того, что выбранный дельфин будет весить от 120 до 130 фунтов:
- P(120 < X < 130) = (130 – 120) / (150 – 100)
- Р(120 < Х < 130) = 10/50
- Р(120 < Х < 130) = 0,2
Вероятность того, что выбранный дельфин будет весить от 120 до 130 фунтов, равна 0,2 .
Визуализация равномерного распределения
Если мы создадим график плотности для визуализации равномерного распределения, он будет выглядеть следующим образом:
Каждое значение между нижней границей a и верхней границей b равновероятно, и любое значение за пределами этих границ имеет нулевую вероятность.
Например, в нашем предыдущем примере мы сказали, что вес дельфинов равномерно распределен между 100 и 150 фунтами. Вот как визуализировать это распределение:
А вероятность того, что случайно выбранный дельфин весит от 120 до 130 фунтов, можно визуализировать следующим образом:
Свойства равномерного распределения
Равномерное распределение обладает следующими свойствами:
- Среднее значение: (а + б) / 2
- Медиана: (а + б) / 2
- Стандартное отклонение: √ (б – а) 2/12
- Дисперсия: (б – а) 2/12
Например, предположим, что вес дельфинов равномерно распределен между 100 и 150 фунтами.
Мы можем вычислить следующие свойства для этого распределения:
- Средний вес: (a + b) / 2 = (150 + 100) / 2 = 125
- Средний вес: (a + b) / 2 = (150 + 100) / 2 = 125
- Стандартное отклонение веса: √ (150 – 100) 2 / 12 = 14,43
- Разница веса: (150 – 100) 2 / 12 = 208,33
Проблемы единообразной практики распределения
Используйте следующие практические задачи, чтобы проверить свои знания о равномерном распределении.
Вопрос 1: Автобус появляется на автобусной остановке каждые 20 минут. Если вы прибываете на автобусную остановку, какова вероятность того, что автобус приедет через 8 минут или меньше?
Решение 1. Минимальное время ожидания — 0 минут, максимальное — 20 минут. Нижнее значение процента составляет 0 минут, а верхнее значение процента составляет 8 минут.
Таким образом, мы рассчитываем вероятность как:
P(0 < X < 8) = (8-0) / (20-0) = 8/20 = 0,4 .
Вопрос 2. Продолжительность игр НБА равномерно распределяется между 120 и 170 минутами. Какова вероятность того, что случайно выбранная игра НБА продлится более 155 минут?
Решение 2. Минимальное время — 120 минут, максимальное — 170 минут. Нижнее значение процента составляет 155 минут, а верхнее значение процента составляет 170 минут.
Таким образом, мы рассчитываем вероятность как:
P(155 < X < 170) = (170-155) / (170-120) = 15/50 = 0,3 .
Вопрос 3: Вес определенного вида лягушек равномерно распределяется между 15 и 25 граммами. Если вы случайно выберете лягушку, какова вероятность того, что она весит от 17 до 19 граммов?
Решение 3: Минимальный вес 15 грамм, максимальный вес 25 грамм. Нижнее процентное значение составляет 17 граммов, а верхнее процентное значение составляет 19 граммов.
Таким образом, мы рассчитываем вероятность как:
P(17 < X < 19) = (19-17) / (25-15) = 2/10 = 0,2 .
Примечание. Мы можем использоватьКалькулятор равномерного распределения , чтобы проверить наши ответы для каждой из этих задач.