Введение в равномерное распределение

Редакция Кодкампа -

Равномерное распределение — это такое распределение вероятностей, при котором каждое значение в интервале от a до b равновероятно.

Если случайная величина X подчиняется равномерному распределению, то вероятность того, что X примет значение между x 1 и x 2 , можно найти по следующей формуле:

P(x 1 < X < x 2 ) = (x 2 – x 1 ) / (b – a)

куда:

  • x 1 : меньшее процентное значение
  • x 2 : верхнее процентное значение
  • а: минимально возможное значение
  • б: максимально возможное значение

Например, предположим, что вес дельфинов равномерно распределен между 100 и 150 фунтами.

Если мы случайным образом выберем дельфина наугад, мы можем использовать приведенную выше формулу, чтобы определить вероятность того, что выбранный дельфин будет весить от 120 до 130 фунтов:

  • P(120 < X < 130) = (130 – 120) / (150 – 100)
  • Р(120 < Х < 130) = 10/50
  • Р(120 < Х < 130) = 0,2

Вероятность того, что выбранный дельфин будет весить от 120 до 130 фунтов, равна 0,2 .

Визуализация равномерного распределения

Если мы создадим график плотности для визуализации равномерного распределения, он будет выглядеть следующим образом:

Каждое значение между нижней границей a и верхней границей b равновероятно, и любое значение за пределами этих границ имеет нулевую вероятность.

Например, в нашем предыдущем примере мы сказали, что вес дельфинов равномерно распределен между 100 и 150 фунтами. Вот как визуализировать это распределение:

А вероятность того, что случайно выбранный дельфин весит от 120 до 130 фунтов, можно визуализировать следующим образом:

Свойства равномерного распределения

Равномерное распределение обладает следующими свойствами:

  • Среднее значение: (а + б) / 2
  • Медиана: (а + б) / 2
  • Стандартное отклонение: √ (б – а) 2/12
  • Дисперсия: (б – а) 2/12

Например, предположим, что вес дельфинов равномерно распределен между 100 и 150 фунтами.

Мы можем вычислить следующие свойства для этого распределения:

  • Средний вес: (a + b) / 2 = (150 + 100) / 2 = 125
  • Средний вес: (a + b) / 2 = (150 + 100) / 2 = 125
  • Стандартное отклонение веса: √ (150 – 100) 2 / 12 = 14,43
  • Разница веса: (150 – 100) 2 / 12 = 208,33

Проблемы единообразной практики распределения

Используйте следующие практические задачи, чтобы проверить свои знания о равномерном распределении.

Вопрос 1: Автобус появляется на автобусной остановке каждые 20 минут. Если вы прибываете на автобусную остановку, какова вероятность того, что автобус приедет через 8 минут или меньше?

Решение 1. Минимальное время ожидания — 0 минут, максимальное — 20 минут. Нижнее значение процента составляет 0 минут, а верхнее значение процента составляет 8 минут.

Таким образом, мы рассчитываем вероятность как:

P(0 < X < 8) = (8-0) / (20-0) = 8/20 = 0,4 .

Вопрос 2. Продолжительность игр НБА равномерно распределяется между 120 и 170 минутами. Какова вероятность того, что случайно выбранная игра НБА продлится более 155 минут?

Решение 2. Минимальное время — 120 минут, максимальное — 170 минут. Нижнее значение процента составляет 155 минут, а верхнее значение процента составляет 170 минут.

Таким образом, мы рассчитываем вероятность как:

P(155 < X < 170) = (170-155) / (170-120) = 15/50 = 0,3 .

Вопрос 3: Вес определенного вида лягушек равномерно распределяется между 15 и 25 граммами. Если вы случайно выберете лягушку, какова вероятность того, что она весит от 17 до 19 граммов?

Решение 3: Минимальный вес 15 грамм, максимальный вес 25 грамм. Нижнее процентное значение составляет 17 граммов, а верхнее процентное значение составляет 19 граммов.

Таким образом, мы рассчитываем вероятность как:

P(17 < X < 19) = (19-17) / (25-15) = 2/10 = 0,2 .

Примечание. Мы можем использоватьКалькулятор равномерного распределения , чтобы проверить наши ответы для каждой из этих задач.