В статистике предел погрешности используется для оценки того, насколько точна некоторая оценка доли населения или среднего значения населения.
Обычно мы используем предел погрешности при расчете доверительных интервалов для параметров совокупности .
В следующих примерах показано, как рассчитать и интерпретировать предел погрешности для доли населения и среднего значения населения.
Пример 1. Интерпретация предела погрешности для доли населения
Мы используем следующую формулу для расчета доверительного интервала для доли населения:
Доверительный интервал = p +/- z * (√ p (1-p) / n )
куда:
- p: доля выборки
- z: выбранное значение z
- n: размер выборки
Часть уравнения, которая следует за знаком +/-, представляет собой погрешность:
Погрешность = z * (√ p (1-p) / n )
Например, предположим, что мы хотим оценить долю жителей округа, поддерживающих определенный закон. Мы выбираем случайную выборку из 100 жителей и спрашиваем их об их отношении к закону.
Вот результаты:
- Размер выборки n = 100
- Доля в пользу закона p = 0,56
Предположим, мы хотим рассчитать 95-процентный доверительный интервал для истинной доли жителей округа, поддерживающих закон.
Используя приведенную выше формулу, мы вычисляем погрешность:
- Погрешность = z * (√ p (1-p) / n )
- Погрешность = 1,96 * (√ 0,56 (1-0,56) / 100 )
- Погрешность = 0,0973
Затем мы можем рассчитать 95% доверительный интервал следующим образом:
- Доверительный интервал = p +/- z * (√ p (1-p) / n )
- Доверительный интервал = 0,56 +/- 0,0973
- Доверительный интервал = [0,4627, 0,6573]
Доверительный интервал 95% для доли жителей округа, поддерживающих закон, оказывается равным [0,4627, 0,6573] .
Это означает, что мы на 95% уверены, что истинная доля жителей, поддерживающих закон, составляет от 46,27% до 65,73%.
Доля жителей в выборке, поддержавших закон, составила 56%, но, вычитая и добавляя погрешность к этой доле выборки, мы можем построить доверительный интервал.
Этот доверительный интервал представляет собой диапазон значений, которые, скорее всего, содержат истинную долю жителей округа, поддерживающих закон.
Пример 2. Интерпретация предела погрешности для среднего значения генеральной совокупности
Мы используем следующую формулу для расчета доверительного интервала для среднего значения генеральной совокупности:
Доверительный интервал = x +/- z*(s/ √n )
куда:
- x : выборочное среднее
- z: z-критическое значение
- s: стандартное отклонение выборки
- n: размер выборки
Часть уравнения, которая следует за знаком +/-, представляет собой погрешность:
Погрешность = z*(s/ √n )
Например, предположим, что мы хотим оценить средний вес популяции дельфинов. Мы собираем случайную выборку дельфинов со следующей информацией:
- Размер выборки n = 40
- Средний вес выборки x = 300
- Стандартное отклонение выборки s = 18,5
Используя приведенную выше формулу, мы вычисляем погрешность:
- Погрешность = z*(s/ √n )
- Погрешность = 1,96*(18,5/ √40 )
- Погрешность = 5,733
Затем мы можем рассчитать 95% доверительный интервал следующим образом:
- Доверительный интервал = x +/- z*(s/ √n )
- Доверительный интервал = 300 +/- 5,733
- Доверительный интервал = [294,267, 305,733]
95% доверительный интервал для среднего веса дельфинов в этой популяции оказывается равным [294,267, 305,733] .
Это означает, что мы на 95% уверены, что истинный средний вес дельфинов в этой популяции составляет от 294,267 до 305,733 фунтов.
Средний вес дельфинов в выборке составлял 300 фунтов, но, вычитая и добавляя погрешность к этой выборке, мы можем построить доверительный интервал.
Этот доверительный интервал представляет собой диапазон значений, которые, скорее всего, содержат истинный средний вес дельфинов в этой популяции.
Дополнительные ресурсы
В следующих руководствах представлена дополнительная информация о допустимой погрешности:
Погрешность и стандартная ошибка: в чем разница?
Как найти погрешность в Excel
Как найти погрешность на калькуляторе TI-84