В статистике z-показатель говорит нам, на сколько стандартных отклонений заданное значение от среднего.Мы используем следующую формулу для расчета z-показателя:
z = (X - μ) / σ
куда:
- X — это одно необработанное значение данных.
- μ - среднее значение
- σ - стандартное отклонение
Z-показатель для отдельного значения можно интерпретировать следующим образом:
- Положительный z-показатель: отдельное значение больше среднего.
- Отрицательный z-показатель: отдельное значение меньше среднего.
- Z-показатель 0: индивидуальное значение равно среднему.
Чем больше абсолютное значение z-показателя, тем дальше отдельное значение от среднего.
В следующем примере показано, как рассчитать и интерпретировать z-значения.
Пример: расчет и интерпретация Z-показателей
Предположим, что баллы за определенный экзамен нормально распределены со средним значением 80 и стандартным отклонением 4.
Вопрос 1: Найдите z-показатель для экзаменационного балла 87.
Мы можем использовать следующие шаги для расчета z-показателя:
- Среднее значение μ = 80
- Стандартное отклонение σ = 4
- Индивидуальное значение, которое нас интересует, равно X = 87.
- Таким образом, z = (X – μ)/σ = (87 – 80)/4 = 1,75 .
Это говорит нам о том, что экзаменационный балл 87 на 1,75 стандартного отклонения выше среднего .
Вопрос 2: Найдите z-показатель для экзаменационного балла 75.
Мы можем использовать следующие шаги для расчета z-показателя:
- Среднее значение μ = 80
- Стандартное отклонение σ = 4
- Индивидуальное значение, которое нас интересует, равно X = 75.
- Таким образом, z = (X – μ)/σ = (75 – 80)/4 = – 1,25 .
Это говорит нам о том, что экзаменационный балл 75 лежит на 1,25 стандартного отклонения ниже среднего .
Вопрос 3: Найдите z-показатель для экзаменационного балла 80.
Мы можем использовать следующие шаги для расчета z-показателя:
- Среднее значение μ = 80
- Стандартное отклонение σ = 4
- Индивидуальное значение, которое нас интересует, равно X = 80.
- Таким образом, z = (X – μ)/σ = (80 – 80)/4 = 0 .
Это говорит нам о том, что экзаменационный балл 80 в точности равен среднему значению .
Почему полезны Z-показатели?
Z-оценки полезны, потому что они дают нам представление о том, как отдельное значение соотносится с остальной частью распределения.
Например, является ли экзаменационная оценка 87 хорошей? Ну, это зависит от среднего и стандартного отклонения всех экзаменационных баллов.
Если экзаменационные баллы для всего населения нормально распределены со средним значением 90 и стандартным отклонением 4, мы рассчитали бы z-балл для 87 следующим образом:
z = (X - μ) / σ = (87 - 90) / 4 = -0,75 .
Поскольку это значение отрицательное, оно говорит нам о том, что экзаменационный балл 87 на самом деле ниже среднего экзаменационного балла для населения. В частности, экзаменационный балл 87 на 0,75 стандартного отклонения ниже среднего .
В двух словах, z-показатели дают нам представление о том, как отдельные значения соотносятся со средним значением.
Как рассчитать Z-значения на практике
В следующих руководствах показаны пошаговые примеры расчета z-показателей в различных статистических программах:
Как рассчитать Z-баллы в Excel
Как рассчитать Z-значения в R
Как рассчитать Z-показатели в Python
Как рассчитать Z-показатели в SPSS