Закон полной вероятности: определение и примеры

В теории вероятностей закон полной вероятности — полезный способ найти вероятность некоторого события A , когда мы не знаем непосредственно вероятности A , но знаем, что события B 1 , B 2 , B 3 … образуют разбиение выборочного пространства S .

Этот закон гласит следующее:

Закон полной вероятности

Если B 1 , B 2 , B 3 … образуют раздел выборочного пространства S , то мы можем рассчитать вероятность события A как:

P( A ) = ΣP( A | B i )*P( B i )

Легче всего понять этот закон на простом примере.

Предположим, что в коробке есть два мешка со следующими шариками:

Мешок 1: 7 красных и 3 зеленых шарика.
Мешок 2: 2 красных шарика и 8 зеленых шариков.

Если мы случайно выберем один из мешков, а затем случайным образом выберем один шарик из этого мешка, какова вероятность того, что это зеленый шарик?

В этом примере пусть P( G ) = вероятность выбора зеленого шарика. Это вероятность, которая нас интересует, но мы не можем вычислить ее напрямую.

Вместо этого нам нужно использовать условную вероятность G , учитывая некоторые события B , где B i образуют раздел выборочного пространства S.В этом примере мы имеем следующие условные вероятности:

P(G|B 1 ) = 3/10 = 0,3
P(G| B2 ) = 8/10 = 0,8

Таким образом, используя закон полной вероятности, мы можем рассчитать вероятность выбора зеленого шарика как:

P(G) = ΣP(G| Bi )*P( Bi )
P(G) = P(G| B1 )*P( B1 ) + P(G| B2 )*P( B2 )
P(G) = (0,3)*(0,5) + (0,8)*(0,5)
Р(Г) = 0,55

Если мы случайно выберем один из мешков, а затем случайным образом выберем один шарик из этого мешка, вероятность того, что мы выберем зеленый шарик, составит 0,55 .

Прочитайте следующие два примера, чтобы закрепить свое понимание закона полной вероятности.

Пример 1: виджеты

Компания А поставляет 80 % комплектующих для автомагазина, и только 1 % их комплектующих оказывается бракованным. Компания B поставляет оставшиеся 20% устройств для автосервиса, и 3% их устройств оказываются бракованными.

Если покупатель случайным образом покупает гаджет в автомагазине, какова вероятность того, что он будет бракованным?

Если мы предположим, что P( D ) = вероятность дефекта изделия, а P( Bi ) будет вероятностью того, что изделие произведено одной из компаний, то мы можем вычислить вероятность покупки дефектного изделия как:

P(D) = ΣP(D| Bi )*P( Bi )
P(D) = P(D| B1 )*P( B1 ) + P(D| B2 )*P( B2 )
P(D) = (0,01)*(0,80) + (0,03)*(0,20)
Р(Д) = 0,014

Если мы случайно купим какой-нибудь виджет в этом автомагазине, вероятность того, что он окажется бракованным, составит 0,014 .

Пример 2: Леса

Лес А занимает 50% всей земли в определенном парке и 20% растений в этом лесу ядовиты. Лес Б занимает 30 % всей площади и 40 % растений в нем ядовиты. Лес С занимает оставшиеся 20% суши и 70% растений в нем ядовиты.

Если мы случайно войдем в этот парк и соберем растение с земли, какова вероятность того, что оно окажется ядовитым?

Если мы допустим P( P ) = вероятность того, что растение ядовито, а P( Bi ) будет вероятностью того, что мы вошли в один из трех лесов, то мы можем вычислить вероятность того, что случайно выбранное растение будет ядовитым, как :

P(P) = ΣP(P| Bi )*P( Bi )
P(P) = P(P| B1 )*P( B1 ) + P(P| B2 )*P( B2 ) + P(P| B3 )*P( B3 )
P(P) = (0,20)*(0,50) + (0,40)*(0,30) + (0,70)*(0,20)
Р(Р) = 0,36

Если мы случайно выберем растение с земли, вероятность того, что оно окажется ядовитым, составит 0,36 .

Дополнительные ресурсы

Как найти среднее значение распределения вероятностей
Как найти стандартное отклонение распределения вероятностей
Калькулятор распределения вероятностей