Стандартное отклонение населения и выборки: когда использовать каждый из них
Стандартное отклонение — один из наиболее распространенных способов измерения разброса значений в наборе данных.
Оказывается, есть два разных типа стандартных отклонений, которые вы можете рассчитать, в зависимости от типа данных, с которыми вы работаете.
1. Стандартное отклонение населения
Вам следует рассчитать стандартное отклонение совокупности, когда набор данных, с которым вы работаете, представляет всю совокупность, то есть каждое значение, которое вас интересует.
Формула для расчета стандартного отклонения генеральной совокупности, обозначаемая как σ, выглядит следующим образом:
σ = √ Σ(x i – μ) 2 / N
куда:
- Σ : символ, означающий «сумма».
- x i : i -е значение в наборе данных
- μ : Среднее значение населения
- N : Численность населения
2. Стандартное отклонение выборки
Вы должны вычислить стандартное отклонение выборки, когда набор данных, с которым вы работаете, представляет собой выборку, взятую из большей интересующей совокупности.
Формула для расчета выборочного стандартного отклонения, обозначенного как s , выглядит следующим образом:
s = √ Σ(xi – x̄ ) 2 / (n – 1)
куда:
- Σ : символ, означающий «сумма».
- x i : i -е значение в наборе данных
- x̄ : Среднее значение выборки
- n : размер выборки
Стандартное отклонение населения и выборки: разница
Из приведенных выше формул видно, что между генеральной совокупностью и стандартным отклонением выборки есть одно крошечное различие: при расчете стандартного отклонения выборки мы делили на n-1 вместо N.
Причина этого в том, что, когда мы вычисляем стандартное отклонение выборки, мы склонны недооценивать истинную изменчивость населения. Другими словами, наша оценка истинного стандартного отклонения генеральной совокупности необъективна.*
Чтобы исправить это смещение, мы делим на n-1. Было показано, что это делает стандартное отклонение выборки объективной оценкой стандартного отклонения генеральной совокупности.
*Доказательство этого выходит за рамки данной статьи. Для математического доказательства обратитесь к этому сообщению от Stack Exchange.
Стандартное отклонение населения и выборки: когда использовать каждый из них
Используйте следующие практические задачи, чтобы лучше понять, когда следует использовать стандартное отклонение популяции и выборки.
Практическая задача 1: Спорт
Предположим, тренер по баскетболу хочет суммировать среднее значение и стандартное отклонение очков, набранных 12 игроками его команды.
При расчете стандартного отклонения набранных баллов должен ли он использовать формулу стандартного отклонения населения или выборки?
Ответ: Он должен использовать стандартное отклонение населения, потому что его интересуют только очки, набранные его игроками, а не другими игроками какой-либо другой команды.
Практическая задача 2: рост
Предположим, учитель физкультуры хочет суммировать среднее значение и стандартное отклонение роста учеников в его классе.
При расчете стандартного отклонения роста должен ли он использовать формулу стандартного отклонения населения или выборки?
Ответ: Ему следует использовать стандартное отклонение населения, потому что его интересует только рост учеников в этом конкретном классе.
Практическая задача 3: Биология
Предположим, биолог хочет суммировать среднее значение и стандартное отклонение веса определенного вида черепах. Она решает пойти и собрать простую случайную выборку из 20 черепах из популяции.
При расчете стандартного отклонения весов следует ли ей использовать формулу стандартного отклонения населения или выборки?
Ответ: Ей следует использовать стандартное отклонение выборки, поскольку ее интересует вес всей популяции черепах, а не только вес черепах в ее выборке.
Практическая задача 4: Производство
Предположим, инспектор хочет суммировать среднее значение и стандартное отклонение веса шин, произведенных на определенном заводе. Он решает собрать простую случайную выборку из 40 шин с завода и взвесить каждую из них.
При расчете стандартного отклонения весов должен ли он использовать формулу стандартного отклонения населения или выборки?
Ответ: Он должен использовать стандартное отклонение выборки, потому что его интересует вес всех шин, произведенных на этом заводе, а не только вес шин в его выборке.
Дополнительные ресурсы
В следующих руководствах представлена дополнительная информация о стандартном отклонении:
Почему важно стандартное отклонение?
Что считается хорошим стандартным отклонением?
6 примеров использования стандартного отклонения в реальной жизни
Коэффициент вариации и стандартное отклонение: разница