Мы можем использовать следующий процесс, чтобы найти вероятность того, что нормально распределенная случайная величина X примет определенное значение, учитывая среднее значение и стандартное отклонение:
Шаг 1: Найдите z-оценку.
Z-оценка показывает, на сколько стандартных отклонений отдельное значение данных отпадает от среднего значения. Он рассчитывается как:
z-оценка = (x – μ) / σ
куда:
- x: индивидуальное значение данных
- μ: среднее значение населения
- σ: стандартное отклонение населения
Шаг 2: Найдите вероятность, соответствующую z-оценке.
После того, как мы вычислили z-значение, мы можем найти соответствующую ему вероятность в таблице z .
В следующих примерах показано, как использовать этот процесс в различных сценариях.
Пример 1: Вероятность меньше определенного значения
Баллы по определенному тесту распределяются нормально со средним значением μ = 82 и стандартным отклонением σ = 8. Какова вероятность того, что данный учащийся наберет за тест менее 84 баллов?
Шаг 1: Найдите z-оценку.
Во-первых, мы найдем z-оценку, связанную с оценкой 84:
z-показатель = (x - μ) / σ = (84 - 82) / 8 = 2 / 8 = 0,25
Шаг 2: Используйте z-таблицу, чтобы найти соответствующую вероятность.
Далее мы найдем значение 0,25 в z-таблице :
Вероятность того, что данный учащийся наберет менее 84 баллов, составляет примерно 59,87% .
Пример 2: Вероятность больше определенного значения
Высота определенного вида пингвинов нормально распределяется со средним значением μ = 30 дюймов и стандартным отклонением σ = 4 дюйма. Если мы случайно выберем пингвина, какова вероятность того, что его рост больше 28 дюймов?
Шаг 1: Найдите z-оценку.
Во-первых, мы найдем z-значение, связанное с высотой 28 дюймов.
z-показатель = (x – μ) / σ = (28 – 30) / 4 = -2 / 4 = -0,5
Шаг 2: Используйте z-таблицу, чтобы найти соответствующую вероятность.
Далее мы найдем значение -0,5 .в z-таблице :
Значение, соответствующее z-оценке -0,5, составляет 0,3085. Это представляет вероятность того, что пингвин ростом менее 28 дюймов.
Однако, поскольку мы хотим знать вероятность того, что пингвин будет иметь рост более 28 дюймов, нам нужно вычесть эту вероятность из 1.
Таким образом, вероятность того, что пингвин будет иметь рост более 28 дюймов, составляет: 1 – 0,3085 = 0,6915 .
Пример 3: Вероятность между двумя значениями
Вес определенного вида черепах нормально распределяется со средним значением μ = 400 фунтов и стандартным отклонением σ = 25 фунтов. Если мы случайно выберем черепаху, какова вероятность того, что она весит от 410 до 425 фунтов?
Шаг 1: Найдите z-показатели.
Во-первых, мы найдем z-показатели, связанные с 410 фунтами и 425 фунтами.
Z-показатель 410 = (x - μ) / σ = (410 - 400) / 25 = 10 / 25 = 0,4
Z-показатель 425 = (x - μ) / σ = (425 - 400) / 25 = 25 / 25 = 1
Шаг 2: Используйте z-таблицу, чтобы найти соответствующую вероятность.
Сначала мы найдем значение 0,4 .в z-таблице :
Затем мы будем искать значение 1в z-таблице :
Затем из большего значения вычтем меньшее: 0,8413 – 0,6554 = 0,1859 .
Таким образом, вероятность того, что случайно выбранная черепаха весит от 410 до 425 фунтов, составляет 18,59% .
Дополнительные ресурсы
Как рассчитать P-значение по Z-показателю вручную
Как преобразовать Z-оценки в необработанные оценки
Как найти Z-показатели заданной площади