Говорят, что распределение вероятностей в статистике обладает свойством отсутствия памяти, если вероятность возникновения некоторого будущего события не зависит от возникновения прошлых событий.
Есть только два распределения вероятностей, обладающих свойством отсутствия памяти:
- Экспоненциальное распределение с неотрицательными действительными числами.
- Геометрическое распределение с неотрицательными целыми числами.
Оба этих распределения вероятностей используются для моделирования ожидаемого количества времени до того, как произойдет какое-либо событие.
Оказывается, в любой данный момент знание того, сколько времени уже прошло, на самом деле не информирует нас о том, произойдет ли то или иное событие раньше или позже.
Следующие примеры помогут нам лучше понять свойство без памяти.
Интуиция собственности без памяти
Рассмотрим следующие примеры:
Не без памяти
Известно, что ноутбуки определенной марки служат в среднем около 6 лет, прежде чем умрут. Таким образом, если мы знаем, что конкретному ноутбуку 5 лет, то ожидаемое время до его выхода из строя довольно короткое. Однако, если другому ноутбуку всего 1 год, ожидаемое время до его выхода из строя довольно велико.
В этом примере знание количества времени, прошедшего в течение срока службы каждого ноутбука, информирует нас о том, как долго ноутбук будет продолжать работать, пока не выйдет из строя. Таким образом, это распределение вероятностей не будет иметь свойство без памяти.
Без памяти
Предположим, Джессика владеет магазином товаров первой необходимости. Она хочет знать, как долго ей придется ждать, пока следующий покупатель не войдет в магазин.
В этом примере знание того, когда последний покупатель вошел в магазин, на самом деле не помогает предсказать, когда войдет следующий покупатель, потому что каждый покупатель независим и ведет себя индивидуально.
Таким образом, это распределение вероятностей будет иметь свойство без памяти. Другими словами, вероятность возникновения какого-либо будущего события не зависит от возникновения прошлых событий.
Свойство без памяти: формальное определение
В терминах формальной статистики говорят, что случайная величина X следует распределению вероятностей со свойством отсутствия памяти, если для любых a и bв {0, 1, 2, …} верно, что:
Pr(X > a + b | X ≥ a ) = Pr(X > b )
Например, предположим, что у нас есть некоторое распределение вероятностей со свойством без памяти, и мы пусть X будет числом испытаний до первого успеха. Если a = 30 и b = 10, то мы бы сказали:
- Pr(X > a + b | X ≥ a ) = Pr(X > b )
- Pr(X > 30 + 10 | X ≥ 30 ) = Pr(X > 10)
- Pr(X > 40 | X ≥ 30 ) = Pr(X > 10)
Другими словами, если у нас было 30 испытаний без успеха, то вероятность того, что нам придется ждать до испытания № 40 или более, чтобы добиться успеха, такая же, как вероятность начать с нуля и дождаться испытания № 10. или больше, чтобы испытать успех.
Поскольку это распределение вероятностей имеет свойство без памяти, это означает, что знание того, сколько неудач у нас было до определенного момента, по-прежнему не информирует нас о вероятности неудачи в будущем.
Свойство без памяти: пример
Предположим, что в магазин заходит в среднем 30 покупателей в час, а время между приходами распределено по экспоненциальному закону. В среднем между последовательными посещениями проходит 2 минуты.
Предположим, что с момента прихода последнего клиента прошло 10 минут. Поскольку это необычно большой промежуток времени, более вероятно, что покупатель прибудет в течение следующей минуты.
Однако, поскольку экспоненциальное распределение имеет свойство без памяти, это оказывается не так. Время, потраченное на ожидание прихода следующего клиента, не зависит от того, сколько времени прошло с момента прибытия последнего клиента.
Мы можем доказать это, используя CDF экспоненциального распределения:
CDF: 1 – e -λx
где λ рассчитывается как 1/среднее время между прибытиями. В нашем примере λ = 1/2 = 0,5.
Если мы допустим a = 10 и b = 1, то мы имеем:
- Pr(X > a + b | X ≥ a ) = Pr(X > b )
- Pr(X > 10 + 1 | X ≥ 10) = Pr(X > 1) = 1 – (1 – e -(0,5)(1) ) = 0,6065
Независимо от количества времени, прошедшего с момента прихода последнего клиента, вероятность того, что до прихода следующего пройдет более одной минуты, равна 0,6065 .