Экспоненциальное распределение — это распределение вероятностей, которое используется для моделирования времени, в течение которого мы должны ждать, пока не произойдет определенное событие.
Это распределение может быть использовано для ответа на такие вопросы, как:
- Как долго владельцу магазина нужно ждать, пока покупатель войдет в его магазин?
- Как долго ноутбук будет продолжать работать, прежде чем он сломается?
- Как долго автомобильный аккумулятор будет продолжать работать, прежде чем он умрет?
- Сколько нам нужно ждать до следующего извержения вулкана в определенном регионе?
В каждом сценарии нас интересует вычисление того, как долго нам придется ждать, пока не произойдет определенное событие. Таким образом, каждый сценарий может быть смоделирован с использованием экспоненциального распределения.
Экспоненциальное распределение: PDF и CDF
Если случайная величина X следует экспоненциальному распределению, то функция плотности вероятности X может быть записана как:
f (x; λ) = λe - λx
куда:
- λ: параметр скорости (рассчитывается как λ = 1/μ)
- e: константа, примерно равная 2,718.
Кумулятивная функция распределения X может быть записана как:
F (х; λ) = 1 – e -λx
На практике CDF чаще всего используется для расчета вероятностей, связанных с экспоненциальным распределением.
Например, предположим, что среднее количество минут между извержениями определенного гейзера составляет 40 минут. Какова вероятность того, что нам придется ждать извержения менее 50 минут?
Чтобы решить эту проблему, нам нужно сначала рассчитать параметр скорости:
- λ = 1/мк
- λ = 1/40
- λ = 0,025
Мы можем подставить λ = 0,025 и x = 50 в формулу CDF:
- P(X ≤ x) = 1 – e -λx
- P(X ≤ 50) = 1 – e -0,025(50)
- Р(Х ≤ 50) = 0,7135
Вероятность того, что нам придется ждать следующего извержения менее 50 минут, равна 0,7135 .
Визуализация экспоненциального распределения
На следующем графике показана функция плотности вероятности случайной величины X , которая следует экспоненциальному распределению с различными параметрами скорости:
На следующем графике показана кумулятивная функция распределения случайной величины X , которая соответствует экспоненциальному распределению с различными параметрами скорости:
Примечание. Ознакомьтесь с этим руководством , чтобы узнать, как построить экспоненциальное распределение в R.
Свойства экспоненциального распределения
Экспоненциальное распределение обладает следующими свойствами:
- Среднее значение: 1 / λ
- Дисперсия: 1 / λ 2****
Например, предположим, что среднее количество минут между извержениями определенного гейзера составляет 40 минут. Мы рассчитали бы скорость как λ = 1/μ = 1/40 = 0,025.
Затем мы могли бы вычислить следующие свойства для этого распределения:
- Среднее время ожидания следующего извержения: 1/λ = 1/0,025 = 40 .
- Разница во времени ожидания следующего извержения: 1/λ 2 = 1/0,025 2 = 1600
Примечание.Экспоненциальное распределение также имеет свойство без памяти , что означает, что вероятность возникновения некоторого будущего события не зависит от возникновения прошлых событий.
Проблемы практики экспоненциального распределения
Используйте следующие практические задачи, чтобы проверить свои знания об экспоненциальном распределении.
Вопрос 1: Новый покупатель заходит в магазин в среднем каждые две минуты. После прихода клиента найти вероятность того, что новый клиент прибудет менее чем за одну минуту.
Решение 1. Среднее время между клиентами составляет две минуты. Таким образом, ставка может быть рассчитана как:
- λ = 1/мк
- λ = 1/2
- λ = 0,5
Мы можем подставить λ = 0,5 и x = 1 в формулу CDF:
- P(X ≤ x) = 1 – e -λx
- P(X ≤ 1) = 1 – e -0,5(1)
- Р (Х ≤ 1) = 0,3935
Вероятность того, что нам придется ждать прибытия следующего клиента меньше одной минуты, равна 0,3935 .
Вопрос 2: Землетрясение происходит в среднем каждые 400 дней в определенном регионе. После землетрясения найти вероятность того, что следующее землетрясение произойдет не ранее, чем через 500 дней.
Решение 2: Среднее время между землетрясениями составляет 400 дней. Таким образом, ставка может быть рассчитана как:
- λ = 1/мк
- λ = 1/400
- λ = 0,0025
Мы можем подставить λ = 0,0025 и x = 500 в формулу CDF:
- P(X ≤ x) = 1 – e -λx
- Р(Х ≤ 1) = 1 – е -0,0025(500)
- Р (Х ≤ 1) = 0,7135
Вероятность того, что следующего землетрясения придется ждать менее 500 дней, равна 0,7135. Таким образом, вероятность того, что следующего землетрясения придется ждать более 500 дней, равна 1 – 0,7135 = 0,2865 .
Вопрос 3. Колл-центр получает новый звонок в среднем каждые 10 минут. После звонка клиента найти вероятность того, что новый клиент позвонит в течение 10–15 минут.
Решение 3. Среднее время между вызовами составляет 10 минут. Таким образом, ставка может быть рассчитана как:
- λ = 1/мк
- λ = 1/10
- λ = 0,1
Мы можем использовать следующую формулу для расчета вероятности того, что новый клиент позвонит в течение 10–15 минут:
- P(10 < X ≤ 15) = (1 – e -0,1(15) ) – (1 – e -0,1(10) )
- P(10 < X ≤ 15) = 0,7769 – 0,6321
- Р(10 < Х ≤ 15) = 0,1448
Вероятность того, что новый клиент позвонит в течение 10-15 минут. составляет 0,1448 .
Дополнительные ресурсы
Следующие руководства содержат введение в другие распространенные распределения вероятностей.
Введение в нормальное распределение
Введение в биномиальное распределение
Введение в распределение Пуассона
Введение в равномерное распределение