Введение в распределение Пуассона

Введение в распределение Пуассона

Распределение Пуассона — одно из самых популярных распределений в статистике.

Чтобы понять распределение Пуассона, сначала нужно понять эксперименты Пуассона.

Пуассоновые эксперименты

Эксперимент Пуассона — это эксперимент, обладающий следующими свойствами:

  • Количество успехов в эксперименте можно подсчитать.
  • Известно среднее количество успехов, которое происходит в течение определенного интервала времени (или пространства).
  • Каждый результат является независимым.
  • Вероятность того, что произойдет успех, пропорциональна размеру интервала.

Одним из примеров эксперимента Пуассона является количество рождений в час в данной больнице. Например, предположим, что в конкретной больнице происходит в среднем 10 родов в час. Это эксперимент Пуассона, поскольку он обладает следующими четырьмя свойствами:

  • Количество успехов в эксперименте можно подсчитать – Мы можем подсчитать количество рождений.
  • Известно среднее количество успехов, которое происходит в течение определенного интервала времени. Известно, что в среднем происходит 10 рождений в час.
  • Каждый результат независим — вероятность того, что одна мать родит в течение данного часа, не зависит от вероятности того, что другая мать родит.
  • Вероятность того, что произойдет успех, пропорциональна размеру интервала: чем длиннее интервал времени, тем выше вероятность того, что произойдет рождение.

Мы можем использовать распределение Пуассона, чтобы ответить на вопросы о вероятностях этого эксперимента Пуассона, такие как:

  • Какова вероятность того, что в данный час произойдет более 12 родов?
  • Какова вероятность того, что в данный час произойдет менее 5 родов?
  • Какова вероятность того, что в данный час произойдет от 8 до 11 родов?

Распределение Пуассона

Распределение Пуассона описывает вероятность получения k успехов за заданный интервал времени.

Если случайная величина X подчиняется распределению Пуассона, то вероятность того, что X = k успехов, можно найти по следующей формуле:

P(X=k) = λk * e – λ / k !

куда:

  • λ: среднее количество успехов за определенный интервал
  • k: количество успехов
  • e: константа, равная приблизительно 2,71828.

Например, предположим, что в конкретной больнице в среднем рождается 2 человека в час. Мы можем использовать приведенную выше формулу, чтобы определить вероятность рождения 0, 1, 2, 3 и т. д. в данный час:

P(X=0) = 2 0 * e – 2 / 0! = 0,1353

P(X=1) = 2 1 * e – 2 / 1! = 0,2707

P(X=2) = 2 2 * e – 2 / 2! = 0,2707

P(X=3) = 2 3 * e – 2 / 3! = 0,1805

Мы можем рассчитать вероятность для любого числа рождений вплоть до бесконечности. Мы создаем, а затем создаем простую гистограмму для визуализации этого распределения вероятностей:

График распределения Пуассона

Вычисление кумулятивных вероятностей Пуассона

Несложно рассчитать одну вероятность Пуассона (например, вероятность того, что в больнице произойдет 3 рождения в течение заданного часа), используя приведенную выше формулу, но для расчета кумулятивной вероятности Пуассона нам нужно добавить индивидуальные вероятности.

Например, предположим, что мы хотим узнать вероятность того, что в больнице будет 1 или меньше родов в данный час. Мы будем использовать следующую формулу для расчета этой вероятности:

P(X≤1) = P(X=0) + P(X=1) = 0,1353 + 0,2707 = 0,406

Это известно как кумулятивная вероятность , потому что она включает в себя добавление более одной вероятности. Мы можем рассчитать кумулятивную вероятность появления k или меньше рождений в данный час, используя аналогичную формулу:

Р(Х≤0) = Р(Х=0) = 0,1353

P(X≤1) = P(X=0) + P(X=1) = 0,1353 + 0,2707 = 0,406

P(X≤2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = 0,1353 + 0,2707 + 0,2707 = 0,6767

Мы можем рассчитать эти кумулятивные вероятности для любого числа рождений вплоть до бесконечности. Затем мы можем создать гистограмму для визуализации этого кумулятивного распределения вероятностей:

Пример кумулятивного распределения вероятности Пуассона

Свойства распределения Пуассона

Распределение Пуассона обладает следующими свойствами:

Среднее значение распределения равно λ .

Дисперсия распределения также равна λ .

Стандартное отклонение распределения равно √ λ .

Например, предположим, что в больнице в среднем рождается 2 ребенка в час.

Среднее число рождений, которое мы ожидаем в данный час, составляет λ = 2 рождения.

Ожидаемая дисперсия числа рождений составляет λ = 2 рождения.

Проблемы практики распределения Пуассона

Используйте следующие практические задачи, чтобы проверить свои знания о распределении Пуассона.

Примечание. Мы будем использоватькалькулятор распределения Пуассона для расчета ответов на эти вопросы.

Проблема 1

Вопрос: Известно, что некий сайт делает 10 продаж в час. Какова вероятность того, что за данный час сайт совершит ровно 8 продаж?

Ответ: Используя калькулятор распределения Пуассона с λ = 10 и x = 8, мы находим, что P(X=8) = 0,1126 .

Проблема 2

Вопрос: Известно, что некий риелтор делает в среднем 5 продаж в месяц. Какова вероятность того, что в данном месяце она совершит более 7 продаж?

Ответ: Используя калькулятор распределения Пуассона с λ = 5 и x = 7, мы находим, что P(X>7) = 0,13337 .

Проблема 3

Вопрос: Известно, что в одной больнице рождается 4 человека в час. Какова вероятность того, что в данный час произойдет 4 или менее родов?

Ответ: Используя калькулятор распределения Пуассона с λ = 4 и x = 4, мы находим, что P(X≤4) = 0,62884 .

Дополнительные ресурсы

В следующих статьях объясняется, как работать с распределением Пуассона в различных статистических программах:

Как использовать распределение Пуассона в R
Как использовать распределение Пуассона в Excel
Как рассчитать вероятности Пуассона на калькуляторе TI-84
Реальные примеры распределения Пуассона
Калькулятор распределения Пуассона

Замечательно! Вы успешно подписались.
Добро пожаловать обратно! Вы успешно вошли
Вы успешно подписались на кодкамп.
Срок действия вашей ссылки истек.
Ура! Проверьте свою электронную почту на наличие волшебной ссылки для входа.
Успех! Ваша платежная информация обновлена.
Ваша платежная информация не была обновлена.