Распределение Рэлея — это непрерывное распределение вероятностей, используемое для моделирования случайных величин , которые могут принимать только значения, равные или большие нуля.
Он имеет следующую функцию плотности вероятности:
f(x; σ) = (x/σ2)e -x2 / ( 2σ2 )
где σ — масштабный параметр распределения.
Свойства распределения Рэлея
Распределение Рэлея обладает следующими свойствами:
- Среднее значение: σ√ π/2
- Дисперсия: ((4-π)/2)σ 2
- Режим: σ
Поскольку π имеет известное числовое значение, мы можем упростить свойства следующим образом:
- Среднее значение: 1,253σ
- Дисперсия: 0,429σ 2
- Режим: σ
Визуализация распределения Рэлея
На следующей диаграмме показана форма распределения Рэлея, когда оно принимает разные значения параметра масштаба:
Обратите внимание, что чем больше значение параметра масштаба σ, тем шире становится распределение.
Бонус: для тех, кому интересно, мы использовали следующий код R для создания диаграммы выше:
#load VGAM package
library (VGAM)
#create density plots
curve(drayleigh(x, scale = 0.5), from=0, to=10, col='green')
curve(drayleigh(x, scale = 1), from=0, to=10, col='red', add=TRUE)
curve(drayleigh(x, scale = 2), from=0, to=10, col='blue', add=TRUE)
curve(drayleigh(x, scale = 4), from=0, to=10, col='purple', add=TRUE)
#add legend
legend(6, 1, legend=c("σ=0.5", "σ=1", "σ=2", "σ=4"),
col=c("green", "red", "blue", "purple"), lty=1, cex=1.2)
Отношение к другим дистрибутивам
Распределение Рэлея имеет следующую связь с другими распределениями вероятностей:
1. Когда параметр масштаба (σ) равен 1, распределение Рэлея равно распределению хи-квадрат с 2 степенями свободы.
2. Распределение Рэлея является частным случаем распределения Вейбулла с параметром формы k = 2.
3. Распределение Рэлея с масштабным параметром σ равно распределению Райса с Rice(0, σ).
Приложения
На практике распределение Рэлея используется в различных приложениях, включая:
1. Распределение Рэлея используется для моделирования поведения волн в океане, включая время, необходимое волнам для достижения гребня, и максимальную высоту, достигаемую волнами.
2. Распределение Рэлея используется для моделирования поведения фоновых данных в магнитно-резонансной томографии, более известной как МРТ.
3. Распределение Рэлея используется в области питания для моделирования взаимосвязи между уровнями питательных веществ и реакцией на питательные вещества как у людей, так и у животных.
Дополнительные ресурсы
Следующие руководства предоставляют дополнительную информацию о других распределениях в статистике:
Введение в нормальное распределение
Введение в биномиальное распределение
Введение в распределение Пуассона