Нормальное распределение

Нормальное распределение является наиболее распространенным в статистике распределением вероятностей.

Нормальные распределения имеют следующие особенности:

• Форма колокола
• Симметричный
• Среднее и медиана равны; оба расположены в центре распределения
• Около 68% данных находятся в пределах одного стандартного отклонения от среднего
• Около 95% данных находятся в пределах двух стандартных отклонений от среднего
• Около 99,7% данных находятся в пределах трех стандартных отклонений от среднего значения.

Последние три пункта известны как эмпирическое правило , иногда называемое правилом 68-95-99,7 .

Связанный: Эмпирическое правило (практические задачи)

Как нарисовать нормальную кривую

Чтобы нарисовать нормальную кривую, нам нужно знать среднее значение и стандартное отклонение.

Пример 1. Предположим, что рост мальчиков в определенной школе распределен нормально со средним значением μ = 70 дюймов и стандартным отклонением σ = 2 дюйма. Нарисуйте нормальную кривую.

Шаг 1: Нарисуйте нормальную кривую.

Шаг 2: Среднее значение 70 дюймов находится посередине.

Шаг 3: Каждое стандартное отклонение равно расстоянию в 2 дюйма.

Пример 2: Предположим, что вес определенного вида выдр нормально распределен со средним значением μ = 30 фунтов и стандартным отклонением σ = 5 фунтов. Нарисуйте нормальную кривую.

Шаг 1: Нарисуйте нормальную кривую.

Шаг 2: Среднее значение 30 фунтов находится посередине.

Шаг 3: Каждое стандартное отклонение соответствует расстоянию в 5 фунтов.

Как найти проценты, используя нормальное распределение

Эмпирическое правило , иногда называемое правилом 68-95-99,7 , гласит, что для случайной величины с нормальным распределением 68 % данных находятся в пределах одного стандартного отклонения от среднего, 95 % — в пределах двух стандартных отклонений от среднего и 99,7% находятся в пределах трех стандартных отклонений от среднего значения.

Используя это правило, мы можем ответить на вопросы о процентах.

Пример: предположим, что рост мальчиков в определенной школе нормально распределен со средним значением μ = 70 дюймов и стандартным отклонением σ = 2 дюйма.

Приблизительно какой процент мальчиков в этой школе выше 74 дюймов?

Решение:

Шаг 1: Нарисуйте нормальное распределение со средним значением μ = 70 дюймов и стандартным отклонением σ = 2 дюйма.

Шаг 2: Рост 74 дюйма на два стандартных отклонения выше среднего. Добавьте проценты выше этой точки в нормальное распределение.

2,35% + 0,15% = 2,5%

Приблизительно 2,5% мальчиков в этой школе выше 74 дюймов.

Приблизительно какой процент мальчиков в этой школе имеет рост от 68 до 72 дюймов?

Решение:

Шаг 1: Нарисуйте нормальное распределение со средним значением μ = 70 дюймов и стандартным отклонением σ = 2 дюйма.

Шаг 2: Высота 68 дюймов и 72 дюйма на одно стандартное отклонение ниже и выше среднего значения соответственно. Просто добавьте проценты между этими двумя точками в нормальном распределении.

34% + 34% = 68%

Приблизительно 68% мальчиков в этой школе имеют рост от 68 до 72 дюймов.

Как найти количество, используя нормальное распределение

Мы также можем использовать эмпирическое правило, чтобы ответить на вопросы о подсчетах.

Пример: предположим, что вес определенного вида выдр распределен нормально со средним значением μ = 30 фунтов и стандартным отклонением σ = 5 фунтов.

В одной колонии 200 таких выдр. Примерно сколько из этих выдр весят более 35 фунтов?

Решение:

Шаг 1: Нарисуйте нормальное распределение со средним значением μ = 30 фунтов и стандартным отклонением σ = 5 фунтов.

Шаг 2: Вес 35 фунтов превышает среднее значение на одно стандартное отклонение. Добавьте проценты выше этой точки в нормальное распределение.

13,5% + 2,35% + 0,15% = 16%

Шаг 3: Поскольку в колонии 200 выдр, 16% от 200 = 0,16 * 200 = 32 .

Приблизительно 32 выдры в этой колонии весят более 35 фунтов.

Приблизительно сколько выдр в этой колонии весят менее 30 фунтов?

Вместо того, чтобы проходить все шаги, которые мы только что сделали выше, мы можем признать, что медиана нормального распределения равна среднему значению, которое в данном случае составляет 30 фунтов.

Это означает, что половина выдр весит более 30 фунтов, а половина - менее 30 фунтов. Это означает, что 50% из 200 выдр весят менее 30 фунтов, поэтому 0,5 * 200 = 100 выдр .

Дополнительные ресурсы

Следующие руководства предлагают дополнительную информацию о нормальном распределении:

6 реальных примеров нормального распределения
Нормальное распределение против t-распределения: разница
Как сделать кривую нормального распределения в Excel
Как сделать кривую нормального распределения в Python