В статистике симметричное распределение — это распределение, в котором левая и правая части зеркально отражают друг друга.
Наиболее известным симметричным распределением является нормальное распределение , имеющее ярко выраженную колоколообразную форму.
Если бы вы провели линию по центру распределения, левая и правая стороны распределения идеально отражали бы друг друга:
В статистике асимметрия — это способ описать симметрию распределения. Это значение может быть отрицательным, нулевым или положительным.
Для симметричных распределений асимметрия равна нулю.
Это отличается от распределений с асимметрией влево, которые имеют отрицательную асимметрию:
Это также отличается от распределений с асимметрией вправо, которые имеют положительную асимметрию:
Свойства симметричных распределений
В симметричном распределении среднее значение, медиана и мода равны.
Напомним следующие определения для каждого:
- Среднее значение: среднее значение.
- Медиана: среднее значение.
- Режим: значение, которое встречается чаще всего.
При симметричном распределении каждое из этих значений равно друг другу.
В каждом из примеров до этого момента мы использовали одномодальные распределения в качестве примеров — распределения только с одним «пиком». Однако распределение также может быть бимодальным и симметричным.
Бимодальное распределение — это распределение, имеющее два пика.
Обратите внимание, что если мы проведем линию по центру этого распределения, левая и правая стороны все равно будут зеркально отражать друг друга.
Для этих распределений среднее и медиана равны. Однако мода расположена в двух пиках.
Другие примеры симметричных распределений
Наряду с нормальным распределением, следующие распределения также являются симметричными:
t-распределение
Равномерное распределение
Распределение Коши
Если вы проведете линию по центру любого из этих распределений, левая и правая стороны каждого распределения будут точно зеркально отражать друг друга.
Симметричные распределения и центральная предельная теорема
Одной из наиболее важных теорем во всей статистике является центральная предельная теорема, которая утверждает, что выборочное распределение среднего значения выборки приблизительно нормально, если размер выборки достаточно велик, даже если распределение населения не является нормальным .
Чтобы применить центральную предельную теорему, размер выборки должен быть достаточно большим. Оказывается, точное число для «достаточно большого» зависит от основной формы распределения населения.
Особенно:
- Если распределение населения симметрично, иногда достаточно размера выборки всего 15 человек.
- Если распределение населения асимметрично, обычно требуется размер выборки не менее 30 человек.
- Если распределение населения крайне асимметрично, может потребоваться размер выборки 40 или более человек.
Таким образом, преимущество симметричных распределений заключается в том, что нам требуются меньшие размеры выборки для применения центральной предельной теоремы при расчете доверительных интервалов или выполнении проверки гипотез .
Дополнительные ресурсы
Введение в центральную предельную теорему
Что такое бимодальное распределение?
Руководство по левостороннему и правостороннему распределению