Случайная величина следует распределению Бернулли, если она имеет только два возможных результата: 0 или 1.
Например, предположим, что мы подбрасываем монету один раз. Пусть вероятность того, что он выпадет орлом, равна p.Это означает, что вероятность того, что выпадет решка, равна 1- p .
Таким образом, мы могли бы написать:
В этом случае случайная величина X подчиняется распределению Бернулли. Он может принимать только два возможных значения.
Теперь, если мы подбросим монету несколько раз, то сумма случайных величин Бернулли будет следовать биномиальному распределению.
Например, предположим, что мы подбрасываем монету 5 раз и хотим узнать вероятность выпадения орла k раз. Мы бы сказали, что случайная величина X следует биномиальному распределению.
Если случайная величина X следует биномиальному распределению, то вероятность того, что X = k успехов, можно найти по следующей формуле:
P(X=k) = n C k * p k * (1-p) nk
куда:
- n: количество испытаний
- k: количество успехов
- p: вероятность успеха в данном испытании
- n C k : количество способов добиться k успехов в n испытаниях.
Например, предположим, что мы подбрасываем монету 3 раза. Мы можем использовать приведенную выше формулу, чтобы определить вероятность выпадения орла 0 за эти 3 подбрасывания:
P(X=0) = 3 C 0 * 0,5 0 * (1-0,5) 3-0 = 1 * 1 * (0,5) 3 = 0,125
Когда n = 1 испытание, биномиальное распределение эквивалентно распределению Бернулли.
Важные заметки
Вот несколько важных замечаний относительно распределения Бернулли и биномиального распределения:
1. Случайная величина, которая следует распределению Бернулли, может принимать только два возможных значения, но случайная величина, которая следует биномиальному распределению, может принимать несколько значений.
Например, при одном подбрасывании монеты у нас будет либо 0, либо 1 решка. Однако в серии из 5 подбрасываний монеты может выпасть 0, 1, 2, 3, 4 или 5 решек.
2. Чтобы случайная величина подчинялась биномиальному распределению, вероятность «успеха» в каждом испытании Бернулли должна быть равной и независимой.
Например, если мы определяем «успех» как выпадение орла, то вероятность успеха при каждом подбрасывании монеты равна 0,5, и каждый подбрасывание независим — результат одного подбрасывания монеты не влияет на результат другого.
Дополнительные ресурсы
Введение в биномиальные эксперименты
Введение в биномиальное распределение
Понимание формы биномиального распределения