@import url('https://fonts.googleapis.com/css?family=Droid+Serif|Raleway');

words {

color: black; font-family: Raleway; max-width: 550px; margin: 25px auto; line-height: 1.75; padding-left: 100px; }

words label, input {

display: inline-block; vertical-align: baseline; width: 350px; }

#button { border: 1px solid; border-radius: 10px; margin-top: 20px; padding: 10px 10px; cursor: pointer; outline: none; background-color: white; color: black; font-family: 'Work Sans', sans-serif; border: 1px solid grey; /* Green */ }

#button:hover { background-color: #f6f6f6; border: 1px solid black; }

p, li { color:#000000; font-size: 19px; font-family: 'Helvetica'; }

p a { color: #9b59b6 !important; } Биномиальное распределение является одним из самых популярных распределений в статистике. Чтобы понять биномиальное распределение, сначала нужно понять биномиальные эксперименты .

Биномиальные эксперименты

Биномиальный эксперимент — это эксперимент, обладающий следующими свойствами:

Эксперимент состоит из n повторных попыток.
Каждое испытание имеет только два возможных исхода.
Вероятность успеха, обозначаемая p , одинакова для каждого испытания.
Каждое испытание является независимым.

Наиболее очевидным примером биномиального эксперимента является подбрасывание монеты. Например, предположим, что мы подбрасываем монету 10 раз. Это биномиальный эксперимент, поскольку он обладает следующими четырьмя свойствами:

Эксперимент состоит из n повторных попыток – всего 10 попыток.
В каждом испытании есть только два возможных исхода — орел или решка.
Вероятность успеха, обозначаемая p , одинакова для каждого испытания. Если мы определим «успех» как приземление орлом, то вероятность успеха для каждого испытания равна ровно 0,5.
Каждое испытание является независимым — результат одного подбрасывания монеты не влияет на результат любого другого подбрасывания монеты.

Биномиальное распределение

Биномиальное распределение описывает вероятность достижения k успехов в n биномиальных экспериментах.

Если случайная величина X подчиняется биномиальному распределению, то вероятность того, что X = k успехов, можно найти по следующей формуле:

P(X=k) = n C k * p k * (1-p) nk

куда:

n: количество испытаний
k: количество успехов
p: вероятность успеха в данном испытании
n C k : количество способов добиться k успехов в n испытаниях.

Например, предположим, что мы подбрасываем монету 3 раза. Мы можем использовать приведенную выше формулу, чтобы определить вероятность получения 0, 1, 2 и 3 решек во время этих 3 подбрасываний:

P(X=0) = 3 C 0 * 0,5 0 * (1-0,5) 3-0 = 1 * 1 * (0,5) 3 = 0,125

P(X=1) = 3 C 1 * 0,5 1 * (1-0,5) 3-1 = 3 * 0,5 * (0,5) 2 = 0,375

P(X=2) = 3 C 2 * 0,5 2 * (1-0,5) 3-2 = 3 * 0,25 * (0,5) 1 = 0,375

P(X=3) = 3 C 3 * 0,5 3 * (1-0,5) 3-3 = 1 * 0,125 * (0,5) 0 = 0,125

Примечание. Мы использовали этот Калькулятор комбинаций для расчета n C k для каждого примера.

Мы можем создать простую гистограмму, чтобы визуализировать это распределение вероятностей:

### Вычисление кумулятивных биномиальных вероятностей

Несложно рассчитать одну биномиальную вероятность (например, вероятность того, что монета выпадет орлом 1 раз из 3 бросков), используя приведенную выше формулу, но для расчета кумулятивных биномиальных вероятностей нам нужно сложить отдельные вероятности.

Например, предположим, что мы хотим узнать вероятность того, что монета выпадет орлом 1 или менее раз из 3 бросков. Мы будем использовать следующую формулу для расчета этой вероятности:

P(X≤1) = P(X=0) + P(X=1) = 0,125 + 0,375 = 0,5 .

Это известно как кумулятивная вероятность , потому что она включает в себя добавление более одной вероятности. Мы можем рассчитать кумулятивную вероятность выпадения k или меньше орлов для каждого исхода, используя аналогичную формулу:

Р(Х≤0) = Р(Х=0) = 0,125 .

P(X≤1) = P(X=0) + P(X=1) = 0,125 + 0,375 = 0,5 .

P(X≤2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = 0,125 + 0,375 + 0,375 = 0,875 .

P(X≤3) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) = 0,125 + 0,375 + 0,375 + 0,125 = 1 .

Мы можем создать гистограмму, чтобы визуализировать это кумулятивное распределение вероятностей:

### Калькулятор биномиальной вероятности

Когда мы работаем с небольшими числами (например, 3 подбрасывания монеты), целесообразно рассчитать биномиальные вероятности вручную. Однако, когда мы работаем с большими числами (например, 100 бросков монеты), вычисление вероятностей вручную может оказаться затруднительным. В этих случаях может быть полезно использовать калькулятор биномиальной вероятности , подобный приведенному ниже.

Например, предположим, что мы подбрасываем монету n = 100 раз, вероятность того, что она выпадет орлом в данном испытании, равна p = 0,5, и мы хотим узнать вероятность того, что она выпадет орлом k = 43 раза или меньше:

p (вероятность успеха в данном испытании) n (количество испытаний) k (количество успехов) Р(Х= 43 ) = 0,03007

Р(Х< 43 ) = 0,06661

Р( Х≤43 ) = 0,09667

Р(Х > 43 ) = 0,90333

Р( Х≥43 ) = 0,93339

function pvalue() {

//get input values var p = document.getElementById('p').value*1; var n = document.getElementById('n').value*1; var k = document.getElementById('k').value*1;

//assign probabilities to variable names var exactProb = jStat.binomial.pdf(k,n,p); var lessProb = jStat.binomial.cdf(k-1,n,p); var lessEProb = jStat.binomial.cdf(k,n,p); var greaterProb = 1-jStat.binomial.cdf(k,n,p); var greaterEProb = 1-jStat.binomial.cdf(k-1,n,p);

//output probabilities document.getElementById('k1').innerHTML = k; document.getElementById('k2').innerHTML = k; document.getElementById('k3').innerHTML = k; document.getElementById('k4').innerHTML = k; document.getElementById('k5').innerHTML = k;

document.getElementById('exactProb').innerHTML = exactProb.toFixed(5); document.getElementById('lessProb').innerHTML = lessProb.toFixed(5); document.getElementById('lessEProb').innerHTML = lessEProb.toFixed(5); document.getElementById('greaterProb').innerHTML = greaterProb.toFixed(5); document.getElementById('greaterEProb').innerHTML = greaterEProb.toFixed(5); } Вот как интерпретировать вывод:

Вероятность того, что монета выпадет орлом ровно 43 раза, равна 0,03007 .
Вероятность того, что монета выпадет орлом менее 43 раз, равна 0,06661 .
Вероятность того, что монета выпадет орлом не более 43 раз, равна 0,09667 .
Вероятность того, что монета выпадет орлом более 43 раз, равна 0,90333 .
Вероятность того, что монета выпадет орлом 43 или более раз, равна 0,93339 .

Свойства биномиального распределения

Биномиальное распределение обладает следующими свойствами:

Среднее значение распределения равно µ = np

Дисперсия распределения равна σ 2 = np(1-p)

Стандартное отклонение распределения равно σ = √ np(1-p)

Например, предположим, что мы подбрасываем монету 3 раза. Пусть p = вероятность того, что монета выпадет орлом.

Среднее количество голов, которое мы ожидаем, равно μ = np = 3*.5 = 1.5 .

Ожидаемая дисперсия числа головок составляет σ 2 = np(1-p) = 3*,5*(1-,5) = 0,75 .

Проблемы практики биномиального распределения

Используйте следующие практические задачи, чтобы проверить свои знания о биномиальном распределении.

Проблема 1

Вопрос: Боб делает 60% своих штрафных бросков. Если он выполнит 12 штрафных бросков, какова вероятность того, что он сделает ровно 10?

Ответ: Используя приведенный выше калькулятор биномиального распределения с p = 0,6, n = 12 и k = 10, мы находим, что P(X=10) = 0,06385 .

Проблема 2

Вопрос: Джессика подбрасывает монету 5 раз. Какова вероятность того, что монета выпадет орлом 2 раза или меньше?

Ответ: Используя приведенный выше калькулятор биномиального распределения с p = 0,5, n = 5 и k = 2, мы находим, что P(X≤2) = 0,5 .

Проблема 3

Вопрос: Вероятность того, что данный студент будет принят в определенный колледж, равна 0,2. Если подали заявки 10 студентов, какова вероятность того, что будут приняты более 4?

Ответ: Используя приведенный выше калькулятор биномиального распределения с p = 0,2, n = 10 и k = 4, мы находим, что P(X>4) = 0,03279 .

Проблема 4

Вопрос: Вы подбрасываете монету 12 раз. Каково среднее ожидаемое количество выпавших орлов?

Ответ: Вспомните, что среднее биномиального распределения вычисляется как µ = np.Таким образом, µ = 12*0,5 = 6 голов .

Проблема 5

Вопрос: Марк совершает хоумран в 10% своих попыток. Если у него есть 5 попыток в данной игре, какова дисперсия количества хоум-ранов, которые он сделает?

Ответ: Напомним, что дисперсия биномиального распределения рассчитывается как σ 2 = np(1-p). Таким образом, σ 2 = 6*.1*(1-.1) = 0,54 .

Дополнительные ресурсы

Следующие статьи помогут вам научиться работать с биномиальным распределением в различных статистических программах: