В статистике обычно используются два распределения: биномиальное и геометрическое .
В этом руководстве представлено краткое объяснение каждого дистрибутива, а также сходства и различия между ними.
Биномиальное распределение
Биномиальное распределение описывает вероятность достижения k успехов в n биномиальных экспериментах .
Если случайная величина X подчиняется биномиальному распределению, то вероятность того, что X = k успехов, можно найти по следующей формуле:
P(X=k) = n C k * p k * (1-p) nk
куда:
- n: количество испытаний
- k: количество успехов
- p: вероятность успеха в данном испытании
- n C k : количество способов добиться k успехов в n испытаниях.
Например, предположим, что мы подбрасываем монету 3 раза. Мы можем использовать приведенную выше формулу, чтобы определить вероятность выпадения орла 0 за эти 3 подбрасывания:
P(X=0) = 3 C 0 * 0,5 0 * (1-0,5) 3-0 = 1 * 1 * (0,5) 3 = 0,125
Геометрическое распределение
Геометрическое распределение описывает вероятность испытать определенное количество неудач, прежде чем испытать первый успех в серии биномиальных экспериментов.
Если случайная величина X подчиняется геометрическому распределению, то вероятность возникновения k отказов до первого успеха может быть найдена по следующей формуле:
P(X=k) = (1-p) k p
куда:
- k: количество неудач до первого успеха
- p: вероятность успеха в каждом испытании
Например, предположим, что мы хотим знать, сколько раз нам придется подбрасывать правильную монету, пока она не упадет орлом. Мы можем использовать приведенную выше формулу, чтобы определить вероятность 3 «провалов», прежде чем монета наконец упадет орлом:
Р(Х=3) = (1-0,5) 3 (0,5) = 0,0625
Сходства и различия
Биномиальное и геометрическое распределение имеют следующие сходства :
- Результат экспериментов в обоих распределениях можно классифицировать как «успех» или «неудача».
- Вероятность успеха одинакова для каждого испытания.
- Каждое испытание является независимым.
Дистрибутивы имеют следующее ключевое отличие :
- В биномиальном распределении есть фиксированное количество попыток (т.е. подбросить монету 3 раза).
- В геометрическом распределении нас интересует количество попыток, необходимых до тех пор, пока мы не добьемся успеха (т. е. сколько бросков нам нужно будет сделать, прежде чем мы увидим решку?)
Практические задачи: когда использовать каждый дистрибутив
В каждой из следующих практических задач определите, подчиняется ли случайная величина биномиальному или геометрическому распределению.
Задача 1: игра в кости
Джессика играет в игру на удачу, в которой она продолжает бросать кости, пока не выпадет число 4. Пусть X будет количеством бросков, пока не выпадет 4. Какому типу распределения следует случайная величина X ?
Ответ: Х следует геометрическому распределению, потому что нас интересует оценка количества необходимых бросков, пока мы, наконец, не получим 4. Это не биномиальное распределение, потому что нет фиксированного количества испытаний.
Проблема 2: Выполнение штрафных бросков
Тайлер делает 80% всех своих штрафных бросков. Предположим, он выполняет 10 штрафных бросков. Пусть X будет количеством раз, когда Тайлер забрасывает мяч за 10 попыток. Какому типу распределения следует случайная величина X ?
Ответ: Х следует биномиальному распределению, потому что существует фиксированное количество испытаний (10 попыток), вероятность «успеха» в каждом испытании одинакова, и каждое испытание независимо.
Дополнительные ресурсы
Калькулятор биномиального распределения
Калькулятор геометрического распределения