Экспоненциальное распределение — это распределение вероятностей, которое используется для моделирования времени, в течение которого мы должны ждать, пока не произойдет определенное событие.
Это распределение может быть использовано для ответа на такие вопросы, как:
- Как долго владельцу магазина нужно ждать, пока покупатель войдет в его магазин?
- Как долго батарея будет продолжать работать, прежде чем она умрет?
- Как долго компьютер будет продолжать работать, прежде чем он сломается?
В каждом сценарии нас интересует вычисление того, как долго нам придется ждать, пока не произойдет определенное событие. Таким образом, каждый сценарий может быть смоделирован с использованием экспоненциального распределения.
Если случайная величина X следует экспоненциальному распределению, то кумулятивная функция плотности X может быть записана как:
F (х; λ) = 1 – e -λx
куда:
- λ: параметр скорости (рассчитывается как λ = 1/μ)
- e: константа, примерно равная 2,718.
Чтобы рассчитать вероятности, связанные с кумулятивной функцией плотности экспоненциального распределения в Excel, мы можем использовать следующую формулу:
=EXPON.DIST(x, lambda, cumulative)
куда:
- x : значение экспоненциально распределенной случайной величины
- lambda : параметр скорости
- cumulative : использовать функцию кумулятивной плотности или нет (ИСТИНА или ЛОЖЬ)
Следующие примеры показывают, как использовать эту формулу на практике.
Пример 1: время до прихода следующего клиента
В среднем новый покупатель заходит в магазин каждые две минуты. После прихода клиента найти вероятность того, что новый клиент прибудет менее чем за одну минуту.
Решение: Среднее время между клиентами составляет две минуты. Таким образом, ставка может быть рассчитана как:
- λ = 1/мк
- λ = 1/2
- λ = 0,5
Таким образом, мы можем использовать следующую формулу в Excel для расчета вероятности того, что новый клиент прибудет менее чем за одну минуту:
Вероятность того, что следующего клиента придется ждать менее одной минуты, равна 0,393469 .
Пример 2: Время до следующего землетрясения
Предположим, землетрясение происходит в среднем каждые 400 дней в определенном регионе. После землетрясения найти вероятность того, что следующее землетрясение произойдет не ранее, чем через 500 дней.
Решение: Среднее время между землетрясениями составляет 400 дней. Таким образом, ставка может быть рассчитана как:
- λ = 1/мк
- λ = 1/400
- λ = 0,0025
Таким образом, мы можем использовать следующую формулу в Excel для расчета вероятности того, что следующее землетрясение произойдет менее чем через 500 дней:
Вероятность того, что следующее землетрясение произойдет менее чем через 500 дней, равна 0,7135.
Таким образом, вероятность того, что следующего землетрясения придется ждать более 500 дней, равна 1 – 0,7135 = 0,2865 .
Пример 3: время до следующего телефонного звонка
Предположим, колл-центр получает новый звонок в среднем каждые 10 минут. После звонка клиента найти вероятность того, что новый клиент позвонит в течение 10–15 минут.
Решение: Среднее время между вызовами составляет 10 минут. Таким образом, ставка может быть рассчитана как:
- λ = 1/мк
- λ = 1/10
- λ = 0,1
Таким образом, мы можем использовать следующую формулу в Excel для расчета вероятности того, что следующий клиент позвонит в течение 10-15 минут:
Вероятность того, что новый клиент позвонит в течение 10-15 минут. составляет 0,1447 .
Дополнительные ресурсы
Введение в экспоненциальное распределение
Свойство экспоненциального распределения без памяти
Как построить экспоненциальное распределение в R