Полиномиальное распределение описывает вероятность получения определенного количества отсчетов для k различных исходов, когда каждый исход имеет фиксированную вероятность возникновения.
Если случайная величина X подчиняется полиномиальному распределению, то вероятность того, что исход 1 произойдет ровно x 1 раз, исход 2 произойдет ровно x 2 раза, исход 3 произойдет ровно x 3 раза и т. д., можно найти по следующей формуле:
Вероятность = n! * (p 1 x 1 * p 2 x 2 * … * p k x k ) / (x 1 ! * x 2 ! … * x k !)
куда:
- n: общее количество событий
- x 1 : количество раз, когда возникает результат 1
- p 1 : вероятность того, что исход 1 произойдет в данном испытании.
Например, предположим, что в урне 5 красных, 3 зеленых и 2 синих шарика. Если мы случайным образом выберем 5 шариков из урны с заменой, какова вероятность получить ровно 2 красных шарика, 2 зеленых шарика и 1 синий шарик?
Чтобы ответить на этот вопрос, мы можем использовать полиномиальное распределение со следующими параметрами:
- п : 5
- x 1 (количество красных шариков) = 2, x 2 (количество зеленых шариков) = 2, x 3 (количество синих шариков) = 1
- p 1 (вероятно, красный) = 0,5, p 2 (вероятно, зеленый) = 0,3, p 3 (вероятно, синий) = 0,2
Подставляя эти числа в формулу, мы находим вероятность:
Вероятность = 5! * (0,5 2 * 0,3 2 * 0,2 1 ) / (2! * 2! * 1!) = 0,135 .
Проблемы практики полиномиального распределения
Используйте следующие практические задачи, чтобы проверить свои знания полиномиального распределения.
Примечание. Мы будем использовать калькулятор мультиномиального распределения для расчета ответов на эти вопросы.
Проблема 1
Вопрос: На трехсторонних выборах мэра кандидат А получает 10% голосов, кандидат Б получает 40% голосов, а кандидат С получает 50% голосов. Если мы выберем случайную выборку из 10 избирателей, какова вероятность того, что 2 проголосовали за кандидата А, 4 проголосовали за кандидата В и 4 проголосовали за кандидата С?
Ответ: Используя калькулятор мультиномиального распределения со следующими входными данными, мы находим, что вероятность равна 0,0504:
Проблема 2
Вопрос: Предположим, в урне находится 6 желтых, 2 красных и 2 розовых шарика. Если мы случайным образом выберем из урны 4 шара с возвратом на место, какова вероятность того, что все 4 шара будут желтыми?
Ответ: Используя калькулятор полиномиального распределения со следующими входными данными, мы находим, что вероятность равна 0,1296:
Проблема 3
Вопрос: Предположим, два ученика играют в шахматы друг против друга. Вероятность того, что студент А выиграет данную игру, равна 0,5, вероятность того, что студент Б выиграет данную игру, равна 0,3, а вероятность того, что он сыграет вничью в данной игре, равна 0,2. Если они сыграют 10 игр, какова вероятность того, что игрок А выиграет 4 раза, игрок Б выиграет 5 раз и 1 раз у них будет ничья?
Ответ: Используя калькулятор мультиномиального распределения со следующими входными данными, мы находим, что вероятность равна 0,038272:
Дополнительные ресурсы
Следующие руководства содержат введение в другие распространенные распределения в статистике:
Введение в нормальное распределение
Введение в биномиальное распределение
Введение в распределение Пуассона
Введение в геометрическое распределение