U-критерий Манна-Уитни (иногда называемый критерием суммы рангов Уилкоксона) используется для сравнения различий между двумя независимыми выборками, когда распределение выборки не является нормальным, а размеры выборки малы (n < 30).
Он считается непараметрическим эквивалентом двухвыборочного независимого t-критерия .
Вот несколько примеров, когда вы можете использовать U-критерий Манна-Уитни:
- Вы хотите сравнить зарплату пяти выпускников университета А с зарплатой пяти выпускников университета Б. Распределение зарплаты не является нормальным.
- Вы хотите узнать, различается ли потеря веса для двух групп: 12 человек, использующих диету А, и 10 человек, использующих диету Б. Потеря веса не распределяется нормально.
- Вы хотите знать, отличаются ли баллы 8 учеников в классе A от результатов 7 учеников в классе B. Баллы не распределены нормально.
В каждом примере у вас есть две группы, которые вы хотите сравнить, распределение выборки не является нормальным, а размеры выборки малы.
Таким образом, U-критерий Манна-Уитни подходит, если выполняются следующие предположения.
Предположения U-критерия Манна-Уитни
Прежде чем проводить U-критерий Манна-Уитни, необходимо убедиться, что выполняются следующие четыре предположения:
- Порядковая или непрерывная. Анализируемая переменная является порядковой или непрерывной. Примеры порядковых переменных включают пункты Лайкерта (например, 5-балльная шкала от «полностью не согласен» до «полностью согласен»). Примеры непрерывных переменных включают рост (измеряется в дюймах), вес (измеряется в фунтах) или экзаменационные баллы (измеряются от 0 до 100).
- Независимость: все наблюдения обеих групп независимы друг от друга.
- Форма: формы распределений для двух групп примерно одинаковы.
Если эти предположения соблюдены, то можно переходить к проведению U-критерия Манна-Уитни.
Как провести U-тест Манна-Уитни
Чтобы провести U-критерий Манна-Уитни, мы следуем стандартной пятиступенчатой процедуре проверки гипотез :
1. Сформулируйте гипотезы.
В большинстве случаев U-тест Манна-Уитни выполняется как двусторонний тест. Нулевая и альтернативная гипотезы записываются как:
H 0 : две популяции равны
H a : две популяции не равны
2. Определите уровень значимости для гипотезы.
Определите уровень значимости. Распространенные варианты: .01, .05 и .1.
3. Найдите тестовую статистику.
Тестовая статистика обозначается как U и является меньшей из U 1 и U 2 , как определено ниже:
U 1 = n 1 n 2 + n 1 (n 1 +1)/2 – R 1
U 2 = n 1 n 2 + n 2 (n 2 +1)/2 – R 2
где n 1 и n 2 — размеры выборки для выборки 1 и 2 соответственно, а R 1 и R 2 — сумма рангов для выборки 1 и 2 соответственно.
В приведенных ниже примерах подробно показано, как найти эту тестовую статистику.
4. Отклонить или не отклонить нулевую гипотезу.
Используя статистику теста, определите, можете ли вы отклонить или не отклонить нулевую гипотезу на основе уровня значимости и критического значения, найденных в U-таблице Манна-Уитни .
5. Интерпретируйте результаты.
Интерпретируйте результаты теста в контексте заданного вопроса.
Примеры проведения U-критерия Манна-Уитни
В следующих примерах показано, как проводить U-критерий Манна-Уитни.
Пример 1
Мы хотим знать, эффективен ли новый препарат для предотвращения приступов паники. В общей сложности 12 пациентов были случайным образом разделены на две группы по 6 человек и назначены для получения нового препарата или плацебо. Затем пациенты записывают, сколько приступов паники у них было в течение одного месяца.
Результаты показаны ниже:
| НОВЫЙ ПРЕПАРАТ | плацебо | | --- | --- | | 3 | 4 | | 5 | 8 | | 1 | 6 | | 4 | 2 | | 3 | 1 | | 5 | 9 |
Проведите тест Манна-Уитни U, чтобы увидеть, есть ли разница в количестве панических атак у пациентов в группе плацебо по сравнению с группой нового препарата. Используйте уровень значимости 0,05.
1. Сформулируйте гипотезы.
H 0 : две популяции равны
H a : две популяции не равны
2. Определите уровень значимости для гипотезы.
Задача говорит нам, что мы должны использовать уровень значимости 0,05.
3. Найдите тестовую статистику.
Напомним, что тестовая статистика обозначается как U и является меньшей из U 1 и U 2 , как определено ниже:
U 1 = n 1 n 2 + n 1 (n 1 +1)/2 – R 1
U 2 = n 1 n 2 + n 2 (n 2 +1)/2 – R 2
где n 1 и n 2 — размеры выборки для выборки 1 и 2 соответственно, а R 1 и R 2 — сумма рангов для выборки 1 и 2 соответственно.
Чтобы найти R 1 и R 2 , нам нужно объединить наблюдения из обеих групп и ранжировать их в порядке от наименьшего к наибольшему:
| НОВЫЙ ПРЕПАРАТ | плацебо | | --- | --- | | 3 | 4 | | 5 | 8 | | 1 | 6 | | 4 | 2 | | 3 | 1 | | 5 | 9 |
Общая выборка: 1 , 1 , 2 , 3 , 3 , 4 , 4 , 5 , 5 , 6 , 8 , 9
Ранги: 1.5 , 1.5 , 3 , 4.5 , 4.5 , 6.5 , 6.5 , 8.5 , 8.5 , 10 , 11 , 12
R 1 = сумма рангов для выборки 1 = 1,5+4,5+4,5+6,5+8,5+8,5 = 34
R 2 = сумма рангов для выборки 2 = 1,5+3+6,5+10+11+12 = 44
Затем мы используем наши размеры выборки n 1 и n 2 вместе с нашей суммой рангов R 1 и R 2 , чтобы найти U 1 и U 2 .
U 1 = 6(6) + 6(6+1)/2 – 34 = 23
U2 = 6(6) + 6(6+1)/2 – 44 = 13
Наша тестовая статистика меньше U 1 и U 2 , что равно U = 13.
Примечание. Мы также можем использовать калькулятор критерия U Манна-Уитни , чтобы найти, что U = 13.
4. Отклонить или не отклонить нулевую гипотезу.
Используя n 1 = 6 и n 2 = 6 с уровнем значимости 0,05, U-таблица Манна-Уитни говорит нам, что критическое значение равно 5:
Поскольку наша тестовая статистика (13) больше нашего критического значения (5), мы не можем отвергнуть нулевую гипотезу.
5. Интерпретируйте результаты.
Поскольку нам не удалось отвергнуть нулевую гипотезу, у нас нет достаточных доказательств, чтобы сказать, что количество приступов паники, испытываемых пациентами в группе плацебо, отличается от группы, принимавшей новое лекарство.
Пример 2
Мы хотим знать, помогают ли занятия по 30 минут в день в течение одной недели учащимся лучше сдавать тест. В общей сложности 15 пациентов были случайным образом распределены в группу исследования или группу без исследования. Через неделю все студенты сдают один и тот же тест.
Результаты тестов для двух групп показаны ниже:
| ИССЛЕДОВАНИЕ | БЕЗ ИССЛЕДОВАНИЯ | | --- | --- | | 89 | 88 | | 92 | 93 | | 94 | 95 | | 96 | 75 | | 91 | 72 | | 99 | 80 | | 84 | 81 | | 90 |
Проведите U-критерий Манна-Уитни, чтобы увидеть, есть ли разница в результатах тестов для исследуемой группы по сравнению с группой без исследования. Используйте уровень значимости 0,01.
1. Сформулируйте гипотезы.
H 0 : две популяции равны
H a : две популяции не равны
2. Определите уровень значимости для гипотезы.
Задача говорит нам, что мы должны использовать уровень значимости 0,01.
3. Найдите тестовую статистику.
Напомним, что тестовая статистика обозначается как U и является меньшей из U 1 и U 2 , как определено ниже:
U 1 = n 1 n 2 + n 1 (n 1 +1)/2 – R 1
U 2 = n 1 n 2 + n 2 (n 2 +1)/2 – R 2
где n 1 и n 2 — размеры выборки для выборки 1 и 2 соответственно, а R 1 и R 2 — сумма рангов для выборки 1 и 2 соответственно.
Чтобы найти R 1 и R 2 , нам нужно объединить наблюдения из обеих групп и ранжировать их в порядке от наименьшего к наибольшему:
| ИССЛЕДОВАНИЕ | БЕЗ ИССЛЕДОВАНИЯ | | --- | --- | | 89 | 88 | | 92 | 93 | | 94 | 95 | | 96 | 75 | | 91 | 72 | | 99 | 80 | | 84 | 81 | | 90 |
Общая выборка: 72 , 75 , 80 , 81 , 84 , 88 , 89 , 90 , 91 , 92 , 93 , 94 , 95 , 96 , 99
Ранги: 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , 11 , 12 , 13 , 14 , 15
R 1 = сумма рангов для выборки 1 = 5+7+8+9+10+12+14+15 = 80
R 2 = сумма рангов для выборки 2 = 1+2+3+4+6+11+13 = 40
Затем мы используем наши размеры выборки n 1 и n 2 вместе с нашей суммой рангов R 1 и R 2 , чтобы найти U 1 и U 2 .
U 1 = 8(7) + 8(8+1)/2 – 80 = 12
U2 = 8(7) + 7(7+1)/2 – 40 = 44
Наша тестовая статистика меньше U 1 и U 2 , что равно U = 12.
Примечание. Мы также можем использовать калькулятор критерия U Манна-Уитни , чтобы найти, что U = 12.
4. Отклонить или не отклонить нулевую гипотезу.
Используя n 1 = 8 и n 2 = 7 с уровнем значимости 0,01, U-таблица Манна-Уитни говорит нам, что критическое значение равно 6:
Поскольку наша тестовая статистика (12) больше нашего критического значения (6), мы не можем отвергнуть нулевую гипотезу.
5. Интерпретируйте результаты.
Поскольку нам не удалось отвергнуть нулевую гипотезу, у нас нет достаточных доказательств того, что результаты тестов студентов, которые учились, отличаются от результатов тестов студентов, которые не учились.
Дополнительные ресурсы
Калькулятор критерия Манна-Уитни U
Таблица U Манна-Уитни
Как выполнить U-тест Манна-Уитни в Excel
Как выполнить U-тест Манна-Уитни в R
Как выполнить U-тест Манна-Уитни в Python
Как выполнить U-тест Манна-Уитни в SPSS
Как выполнить U-тест Манна-Уитни в Stata