Одно из ключевых предположений линейной регрессии состоит в том, что остатки распределяются с одинаковой дисперсией на каждом уровне предиктора. Это предположение известно как гомоскедастичность .
Когда это предположение нарушается, говорят, что в остатках присутствует гетероскедастичность.Когда это происходит, результаты регрессии становятся ненадежными.
Один из способов визуально определить, присутствует ли гетероскедастичность, состоит в том, чтобы построить график остатков в зависимости от подогнанных значений регрессионной модели.
Если остатки становятся более разбросанными при более высоких значениях на графике, это явный признак наличия гетероскедастичности.
Формальный статистический тест, который мы можем использовать для определения наличия гетероскедастичности, — это тест Бреуша-Пагана .
Этот учебник содержит краткое объяснение теста Бреуша-Пагана вместе с примером.
Что такое тест Бреуша-Пагана?
Тест Бреуша-Пагана используется для определения наличия или отсутствия гетероскедастичности в регрессионной модели.
В тесте используются следующие нулевая и альтернативная гипотезы :
- Нулевая гипотеза (H 0 ): присутствует гомоскедастичность (остатки распределены с равной дисперсией)
- Альтернативная гипотеза ( HA ): присутствует гетероскедастичность (остатки не распределены с одинаковой дисперсией)
Если p-значение теста меньше некоторого уровня значимости (т. е. α = 0,05), то мы отклоняем нулевую гипотезу и делаем вывод, что в регрессионной модели присутствует гетероскедастичность.
Мы используем следующие шаги для выполнения теста Бреуша-Пагана:
1. Подберите регрессионную модель.
2. Рассчитайте квадраты невязок модели.
3. Подберите новую модель регрессии, используя квадраты невязок в качестве значений отклика.
4. Рассчитайте статистику критерия хи-квадрат X 2 как n*R 2 new , где:
- n: общее количество наблюдений
- R 2 new : R-квадрат новой регрессионной модели, в которой в качестве значений отклика использовались квадраты остатков.
Если значение p, соответствующее этой статистике критерия хи-квадрат с p (число предикторов) степеней свободы, меньше некоторого уровня значимости (т. е. α = 0,05), то нулевая гипотеза отвергается и делается вывод о наличии гетероскедастичности.
В противном случае не удастся отвергнуть нулевую гипотезу. В этом случае предполагается наличие гомоскедастичности.
Обратите внимание, что большинство статистических программ могут легко выполнить тест Бреуша-Пагана, поэтому вам, вероятно, никогда не придется выполнять эти шаги вручную, но полезно знать, что происходит за кулисами.
Пример теста Бреуша-Пагана
Предположим, у нас есть следующий набор данных, содержащий информацию о 10 разных баскетболистах:
Используя статистическое программное обеспечение, мы подогнали следующую модель множественной линейной регрессии :
рейтинг = 62,47 + 1,12*(очки) + 0,88*(передачи) – 0,43*(подборы)
Затем мы используем эту модель для прогнозирования рейтинга каждого игрока и рассчитываем квадраты остатков (т. е. квадрат разницы между прогнозируемым рейтингом и фактическим рейтингом):
Затем мы подгоняем новую модель регрессии, используя квадраты остатков в качестве значений отклика и исходные переменные-предикторы в качестве переменных-предикторов еще раз. Мы находим следующее:
- п: 10
- Р 2 новый : 0,600395
Таким образом, наша статистика критерия хи-квадрат для теста Бреуша-Пагана равна n*R 2 new = 10*0,600395 = 6,00395.Степени свободы - это p = 3 переменных-предиктора.
Согласно Калькулятору хи-квадрат для P-значения , p-значение, соответствующее X 2 = 6,00395 с 3 степенями свободы, составляет 0,111418 .
Поскольку это p-значение не меньше 0,05, мы не можем отвергнуть нулевую гипотезу. Таким образом, мы предполагаем, что гомоскедастичность присутствует.
Тест Бреуша-Пагана на практике
В следующих руководствах представлены пошаговые примеры выполнения теста Бреуша-Пагана в различных статистических программах:
Как выполнить тест Бреуша-Пагана в Excel
Как выполнить тест Бреуша-Пагана в R
Как выполнить тест Бреуша-Пагана в Python
Как выполнить тест Бреуша-Пагана в Stata