Экспоненциальное распределение — это распределение вероятностей, которое используется для моделирования времени, в течение которого мы должны ждать, пока не произойдет определенное событие.
Если случайная величина X следует экспоненциальному распределению, то кумулятивная функция плотности X может быть записана как:
F (х; λ) = 1 – e -λx
куда:
- λ: параметр скорости (рассчитывается как λ = 1/μ)
- e: константа, примерно равная 2,718.
В этой статье мы поделимся 5 примерами экспоненциального распределения в реальной жизни.
Пример 1: Время между извержениями гейзеров
Количество минут между извержениями определенного гейзера можно смоделировать с помощью экспоненциального распределения.
Например, предположим, что среднее количество минут между извержениями определенного гейзера составляет 40 минут. Если гейзер только что извергся, какова вероятность того, что нам придется ждать следующего извержения менее 50 минут?
Чтобы решить эту проблему, нам нужно сначала рассчитать параметр скорости:
- λ = 1/мк
- λ = 1/40
- λ = 0,025
Мы можем подставить λ = 0,025 и x = 50 в формулу CDF:
- P(X ≤ x) = 1 – e -λx
- P(X ≤ 50) = 1 – e -0,025(50)
- Р(Х ≤ 50) = 0,7135
Вероятность того, что нам придется ждать следующего извержения менее 50 минут, равна 0,7135 .
Пример 2: Время между клиентами
Количество минут между покупателями, которые заходят в определенный магазин, можно смоделировать с помощью экспоненциального распределения.
Например, предположим, что новый покупатель заходит в магазин в среднем каждые две минуты. После прихода клиента найти вероятность того, что новый клиент прибудет менее чем за одну минуту.
Чтобы решить эту проблему, мы можем начать с того, что знаем, что среднее время между клиентами составляет две минуты. Таким образом, ставка может быть рассчитана как:
- λ = 1/мк
- λ = 1/2
- λ = 0,5
Мы можем подставить λ = 0,5 и x = 1 в формулу CDF:
- P(X ≤ x) = 1 – e -λx
- P(X ≤ 1) = 1 – e -0,5(1)
- Р (Х ≤ 1) = 0,3935
Вероятность того, что нам придется ждать прибытия следующего клиента меньше одной минуты, равна 0,3935 .
Пример 3: Время между землетрясениями
Время между землетрясениями можно смоделировать с помощью экспоненциального распределения.
Например, предположим, что землетрясение происходит в среднем каждые 400 дней в определенном регионе. После землетрясения найти вероятность того, что следующее землетрясение произойдет не ранее, чем через 500 дней.
Чтобы решить эту проблему, мы начинаем с того, что знаем, что среднее время между землетрясениями составляет 400 дней. Таким образом, ставка может быть рассчитана как:
- λ = 1/мк
- λ = 1/400
- λ = 0,0025
Мы можем подставить λ = 0,0025 и x = 500 в формулу CDF:
- P(X ≤ x) = 1 – e -λx
- Р(Х ≤ 1) = 1 – е -0,0025(500)
- Р (Х ≤ 1) = 0,7135
Вероятность того, что следующего землетрясения придется ждать менее 500 дней, равна 0,7135.
Таким образом, вероятность того, что следующего землетрясения придется ждать более 500 дней, равна 1 – 0,7135 = 0,2865 .
Пример 4: Время между вызовами
Время между звонками клиентов в разных компаниях можно смоделировать с помощью экспоненциального распределения.
Например, предположим, что банк получает новый звонок в среднем каждые 10 минут. После звонка клиента найти вероятность того, что новый клиент позвонит в течение 10–15 минут.
Чтобы решить эту проблему, мы начинаем с того, что знаем, что среднее время между вызовами составляет 10 минут. Таким образом, ставка может быть рассчитана как:
- λ = 1/мк
- λ = 1/10
- λ = 0,1
Мы можем использовать следующую формулу для расчета вероятности того, что новый клиент позвонит в течение 10–15 минут:
- P(10 < X ≤ 15) = (1 – e -0,1(15) ) – (1 – e -0,1(10) )
- P(10 < X ≤ 15) = 0,7769 – 0,6321
- Р(10 < Х ≤ 15) = 0,1448
Вероятность того, что новый клиент позвонит в течение 10-15 минут. составляет 0,1448 .
Дополнительные ресурсы
В следующих статьях приведены примеры того, как другие распределения вероятностей используются в реальном мире:
6 реальных примеров нормального распределения
5 реальных примеров биномиального распределения
5 реальных примеров распределения Пуассона
5 реальных примеров геометрического распределения
5 реальных примеров равномерного распределения